1.9　神秘的六六大顺数

有一个非常奇特的6位整数m，它由不同的6个数字组成；m的2倍也是由这6个数字组成；m的3倍也是由这6个数字组成；以至m的4，5，6倍也都是由这6个数字组成。因而，这一奇特整数被披上许多神秘的色彩，说是某一寺庙留传下来的，甚至说是在埃及金字塔发现的。

鉴于这一整数是6位数，又有其2~6倍整数由同样数字组成的特性，不妨称为“六六大顺数”。

本节应用逐位推理探求神奇的“六六大顺数”，并经拓展得到该数的令人惊奇的“插9”特性。

1.9.1　推理揭开神秘面纱

【问题】　推理探求神秘的“六六大顺数”。

【探求】　应用“排除法”推理，逐位确定。

显然，所探求的6位数的6个数字互不相同，且不可能有数字0。

设所求的6位整数m为abcdef（每一字母代表一个非零数字）。

下面通过“排除法”推理，层层揭开其神秘的面纱。

（1）显然首位数字a＝1，否则m的5倍、6倍超过6位数。

（2）试用排除法确定个位数字f。

注意到m的个位数字f（≠1）分别乘2~6的积的个位数字，应为m中除个位数字f之外的其余5个数字a，b，c，d，e。

①数字f不能为偶数，否则乘2~6的积的个位数字均为偶数，不含1。

②f≠3，因3乘2~6的积的个位数字分别为6，9，2，5，8，也不含1。

③f≠5，因5乘2~6的积的个位数字出现0。

④f≠9，因9乘2~6的积的个位数字分别为8，7，6，5，4，也不含1。

因而确定6位整数m的个位数字f＝7。

（3）确定组成m的6个数字。

个位数字f＝7分别乘2~6的积，其个位数字分别为4，1，8，5，2，因而这5个数字另加上个位数字7构成m的6个数字。

整数m的6个数字从小到大排列为1，2，4，5，7，8。

m乘2所得积的首数字即最高位数字为2；

m乘3所得积的首数字即最高位数字为4；

m乘4所得积的首数字即最高位数字为5；

m乘5所得积的首数字即最高位数字为7；

m乘6所得积的首数字即最高位数字为8。

（4）确定m的数字分布。

上面已确定m为1bcde7，其中数字b，c，d，e将在2，4，5，8中逐步确定。

①首先确定b＝4。

若b为5，8，将导致m乘2积的首数字大于2，矛盾；

若b为2，则m乘3积的首数字小于4，导致矛盾。

因而唯有b＝4，即有m＝14cde7。

②其次确定c＝2。

若c为5，m只有145287与145827两种可能。

因145287×2＝290574，出现0；145827×2＝291654，出现数字9，均导致矛盾。

若c为8，m只有148257与148527两种可能。

因148257×2＝296514，出现数字9；148527×2＝297054，出现0，均导致矛盾。

因而唯有c＝2，即有m＝142de7。

③最后确定d＝8，e＝5。

由142587×3＝427761，出现数字重复导致矛盾。

因而，神奇6位数的神秘面纱揭开：m＝142857。

（5）验证（此步不可省略）。

由m＝142857，验证m的2~6倍均由组成m的6个数字组成。

142857×2＝285714　　142857×3＝428571

142857×4＝571428　　142857×5＝714285

142857×6＝857142

验证通过。太神奇了！

更神奇的是142857×7＝999999。

（6）奇妙的循环小数。

分数1/7~6/7都是循环节（以[]界定）为6位的循环小数，如下所示。

1/7＝0.[1 4 2 8 5 7]

2/7＝0.[2 8 5 7 1 4]

3/7＝0.[4 2 8 5 7 1]

4/7＝0.[5 7 1 4 2 8]

5/7＝0.[7 1 4 2 8 5]

6/7＝0.[8 5 7 1 4 2]

欣赏以上6个分数的结果，是自然，还是巧合？

1.9.2　奇妙的“插9”特性

编程拓展：试搜索一般的w（1＜w＜10）位整数m，它由不同的w个数字组成，同时整数m的k（2~w，k≤6）倍整数都是m的变序数（即m的组成数字通过不同排列所得整数）。

输入位数w，搜索所有满足以上倍数特性的整数m。

1. 设计要点

根据输入的位数w，确定其倍数的最大值p：p＝w；当w＞6时p＝6。

同时，通过自乘得最小的w位整数t，建立m（t~（10t-1）/p）循环枚举w位整数。

为了方便判别整数m的组成数字与其k（2~p）倍整数n的组成数字相同，设置f，h两个数组，f数组统计m组成数字的频数，h数组统计m的倍数n组成数字的频数，如果这两个数组出现某数字频数不同或存在重复数字，即满足以下条件

f[j]！＝h[j]||f[j]＞1　（j＝0，1，…，9）

则退出返回。否则，输出满足题意的整数m与其各倍数n。

2. 程序设计

3. 程序运行示例与说明

若输入w＝6，则输出“六六大顺数”142857及其2~6倍的变序数式。

以上w＝7的第一个输出结果是平凡的，实际上是“六六大顺数”的尾部加0。

运行程序，输入w＝2~5，没有相应的输出，说明当w＜6时，不存在w位整数m，其k（2~w）倍积的组成数字与m的组成数字相同。

4. 发现“插9”特性

以上运行程序输入w＝7的第二个输出结果，实际上是在w＝6的结果即“六六大顺数”142857的正中“插9”所得，这给出非常明确的启迪。

（1）“插9”特性与条件。

事实上，9乘以k（2~9）所得积分别为18，27，36，45，54，63，72，81，这些积有个共同的规律：十位数字与个位数字之和为9。

“插9”特性：如果乘积式中乘数的某一位的进位数与相应乘9的进位数相同，则此处可插入9，相应的积也插入9，等式仍然成立。

这里，能“插9”的条件为“乘积式中乘数的某一位的进位数与相应乘9的进位数相同”。因为乘9的十位数字与个位数字之和为9，两进位数相同，势必乘9的个位数字与原进位数字之和为9（即为积的“插9”），而仍保持原进位数不变，不改变随后的乘积。

（2）剖析“插9”实例。

下面通过实例进一步说明。例如，在142857×3＝428571这一乘积式中，能否“插9”？何处可“插9”？

不妨从个位开始，一一检验实施。注意到9×3＝27，进位数为2。

①个位7×3＝21，进位数为2，与9×3的进位数相同，可“插9”，得1428597×3＝4285791（此时9×3＝27中的7与原进位数2相加为9，进位数仍为2）。

②低2位57×3＝171，进位数为1，与9×3的进位数不同，不可“插9”。

③低3位857×3＝2571，进位数为2，与9×3的进位数相同，可“插9”，得1429857×3＝4289571（此时9×3＝27中的7与原进位数2相加为9，进位数仍为2）。

④低4位、低5位乘3的进位数非2，不可“插9”。

（3）在142857的正中“插9”延伸。

对于k＝2~6，857×k的进位数分别为1，2，3，4，5；对应的9×k的进位数分别为1，2，3，4，5，即对每一个k＝2~6，857×k的进位数与9×k的进位数相同，因而在整数142857的正中“插9”后，其k（2~6）倍积恰为原积的正中“插9”，如下所示。

可见，拓展程序输出的第二个结果，实际上就是在“六六大顺数”142857的正中“插9”所得。

顺便指出，在142857×3＝428571乘积式中的“十位”可插入9，但对于k＝2~6中除3之外的其他4个倍数k，不符合在“十位”插入9的条件。

（4）“插9”特性的多次重复。

神奇的是，这一奇异“插9”特性还可多次重复，即在142857的正中插入若干9后，其k（2~6）倍积为原积的正中插入若干9，如下所示。

这样一来，按上表可列举一个10位正整数m，或更多的30位正整数m（须允许数字重复），分别乘以k（2~6）所得积的数字组成与m的数字组成相同。

这一神奇的“插9”特性，在以后第3章的“逆序倍积式”中还会出现。