2.1 周期信号

与所有的信号一样，周期信号也有时域和频域两种表示法。时域表示法就是写出周期信号的时域表达式或画出周期信号的波形图。频域表示法则是写出周期信号的频域表达式或画出周期信号的频率谱。

2.1.1 周期信号的时域表示

周期信号是指信号在时间上是不断重复的，比如图2.1a中的x（t）。它以时间长度T0进行重复，所以T0被叫作周期信号的周期。它的倒数叫作周期信号的频率，图中用f0表示，所以有f0=1/T0。

周期信号的主要特点是，总可以表示为若干个或无数个正弦量信号之和（正弦量信号包括正弦信号和余弦信号，所以正弦量信号可以是正弦信号，也可以是余弦信号）。比如，图2.1a中的周期信号x（t）可以表示为图2.1b、c、d中三个正弦信号的叠加。这三个正弦信号的频率依次为f0、2f0和3f0，其中f0为周期信号x（t）的频率，所以图2.1b中的x1（t）被称为x（t）的基频分量，而图2.1c和d中的x2（t）和x3（t）被分别称为x（t）的二次和三次谐波分量。x1（t）～x3（t）三个正弦信号的振幅依次为A1、A2和A3，相位依次为θ1、θ2和θ3。周期信号还可以包含直流分量，这里的x（t）没有直流分量。

图2.1中的情况其实是周期信号的傅里叶级数展开。由于周期信号可以表示为若干个正弦量信号之和，那么就可以把周期信号的讨论归结为对正弦量信号的讨论。所以在下面的讨论中，我们仅讨论正弦量信号，并把讨论的重点放在正弦量信号的相位上，因为振幅和频率是相对比较简单的（为简便起见，图2.1中的时间轴被同时用来表示相位。本书的其他地方有相同的用法）。

2.1.1.1 正弦信号和余弦信号的时间关系

正弦量信号的相位与时间之间的换算很简单。把相位换算成时间，使用等式t=（θ/360°）×T0；把时间换算成相位，使用等式θ=（t/T0）×360°。比如在图2.2中，时间t1=T0/4换算成相位就是θ=（t1/T0）×360°=90°；而相位θ=-135°换算成时间是t2=（θ/360°）×T0=-3T0/8。

本小节讨论相位与时间的另一个问题，即同频率同相位的正弦信号和余弦信号的时间关系。这就是图2.3中的情况。为便于讨论，把图2.3a中正弦信号和余弦信号的相位都设定为零。对于其他的相位值，情况是一样的（图2.3b中的相位都等于90°）。

正弦信号的相位是指幅值由负变正的过零点处与原点之间的距离，余弦函数的相位是指幅值到达正向峰值处与原点之间的距离（在信号处理中，信号和函数是同一个意思，可以互换）。

根据这个规定，图2.3a中正弦信号和余弦信号的相位都等于零。但从时间上看，零相位的余弦信号要比零相位的正弦信号在时间上领先T0/4（T0/4相当于90°相位）。对于相位不等于零的情况，比如正弦信号和余弦信号的相位都等于90°，这实际上是把图2.3a中的两条曲线同时左移T0/4。结果是，两条曲线之间的时间关系保持不变，这就是图2.3b中的情况。确定图2.3b中两条曲线的相位很简单，比如对于正弦曲线，当t=0时，幅值达到了正向峰值，所以相位是90°；对于余弦曲线，当t=0时，幅值下降到零，所以相位也是90°。由此得出结论：对于同频率、同相位的余弦和正弦信号，余弦信号总要比正弦信号在时间上早出现T0/4（由于周期信号的原因，早出现T0/4也就是晚出现3T0/4，或者，90°相位也就是-270°相位）。

2.1.1.2 正弦量信号的两种表示法

图2.1b、c和d中的三个正弦量信号都被表示为正弦函数，但也可以表示为余弦函数，两者的差别只是在相位上加或减90°。这可以用图2.4来说明。

先把图2.4a中的正弦量信号表示为余弦函数，如图2.4b所示。图中余弦函数的峰值出现在t=0的右边，所以相位是负值，具体为θcos=-60°，并可表示为

式（2.1）的正确性可以通过两个时间点来测试：①当t=0时，xcos（0）=cos（-60°）=cos60°=0.5；②当2πf0t-60°=0时，即t=（π/3）/（2πf0）=T0/6时，xcos（T0/6）=cos0°=1。图2.4b中确实如此，所以式（2.1）是正确的。

图2.4a中的正弦量信号也可以表示为正弦函数，如图2.4c所示。图中正弦函数从负变正的过零点出现在t=0的左边，所以相位为正值，具体为θsin=30°，表达式为

上式的正确性同样可以通过两个时间点来测试：①当t=0时，xsin（0）=sin30°=0.5；②当2πf0t+30°=0即t=（-π/6）/（2πf0）=-T0/12时，xsin（0°）=0。图2.4c中的情况也确实如此，所以式（2.2）也是正确的。

本小节可归纳为：当余弦函数的正向峰值（或正弦函数从负变正的过零点）出现在t=0的左边时，相位为正值，否则相位为零或负值。如果把余弦函数改写为正弦函数，相位需增加90°。

2.1.1.3 正弦量信号的分解与合成

先回顾一下三角恒等式

如何来记忆式（2.3）和式（2.4）右边的加减号呢？对于式（2.3），余弦函数的角度越大，函数值越小（在第一象限内），所以等式左边的加号到了等式右边就是减号。对于式（2.4），正弦函数的角度越大，函数值越大（也是在第一象限内），所以等式左边的加号到了等式右边仍为加号。

现在令α=2πf0t和β=θ，上面两式分别变为

从式（2.5）看，一个相位不等于零的余弦函数被分解成一对零相位、同频率的余弦和正弦函数。从式（2.6）看，一个相位不等于零的正弦函数也被分解成一对零相位、同频率的余弦和正弦函数（把上面两式中的θ看作常数，所以cosθ和sinθ也都是常数，可作为正弦量信号的振幅）。

本小节可归纳为：一个相位不等于零的正弦函数或余弦函数总可以表示为一对同频率、零相位的正弦函数和余弦函数之和。或者反过来，一对同频率、零相位的正弦函数和余弦函数总可以合成为一个同频率、非零相位的正弦函数或余弦函数（在把周期信号展开为傅里叶级数时，会看到这个性质）。

2.1.2 周期信号的频域表示

2.1.2.1 欧拉定理与复指数信号

对于周期信号的频域表示，需借助欧拉定理（也称欧拉恒等式），即

欧拉定理的漂亮之处，是把看来毫不相干的正弦量信号与复指数关联了起来。在上面两式中，左边是复指数信号，右边是正弦量信号。图2.7用来说明两者是如何关联的，而关联的媒介是复平面内的单位圆。

图2.7a解释了式（2.12）的含义。在复平面内，式（2.12）中的ejφ、cosφ和jsinφ都应被看作矢量，而矢量的分解和合成遵守平行四边形法则。图中根据式（2.12）把矢量ejφ分解成两个分别沿纵、横坐标方向的矢量cosφ和jsinφ。反过来，也可以用cosφ和jsinφ合成矢量ejφ。此外，从式（2.12）还可以算出矢量ejφ的模（矢量的模也称幅值或长度）。由于等式右边cosφ+jsinφ的模等于1（复数的模等于实部和虚部平方和的平方根，即cos2φ+sin2φ=1），所以ejφ的模也等于1，表示矢量的末端在单位圆上。

对于式（2.13）可以用图2.7b来解释。图中的e-jφ、cosφ和-jsinφ三个矢量同样满足矢量分解和合成的平行四边形法则，而且同样可以证明e-jφ的幅值等于1，即矢量的末端也在单位圆上。

如果把式（2.12）和式（2.13）相加和相减，可以得到另一对欧拉恒等式，即

式（2.14）和式（2.15）表示，一个正弦量信号可以用一对正、负指数的复指数信号相加或相减得出。这同样可以通过复平面内的单位圆来解释，如图2.8所示。图中的ejφ/2和e-jφ/2是两个幅值为0.5、幅角分别为±φ的复矢量。在图2.8a中，把矢量ejφ/2和e-jφ/2相加，就得到cosφ（同样可以用矢量相加的平行四边形法则，或计算ejφ/2和e-jφ/2在实轴上的投影之和，两者在虚轴上的投影相互抵消）。

在图2.8b中，从矢量ejφ/2中减去e-jφ/2，就得到沿虚轴方向的jsinφ（这等于ejφ/2和e-jφ/2在虚轴上的投影之和；两者在实轴上的投影也相互抵消）。由于j=ejπ/2表示把矢量逆时针旋转90°，所以矢量sinφ应该是沿实轴的正方向，如图2.8b中所示。

2.1.2.2 正弦量信号的频率谱

上一小节讲述了每个正弦量信号都可以分解为两个复指数信号，即式（2.14）和式（2.15）。如果把复指数信号中的幅角φ代换成2πft+θ，式（2.14）和式（2.15）就分别变为

式（2.16）和式（2.17）中，假设频率f和相位θ都是常数，而t为时间变量。那么当t增加或减小时，等式右边的两个复指数信号ej（2πft+θ）和e-j（2πft+θ）就变成一对沿单位圆等速且反向旋转的复矢量。这样的一对旋转复矢量就可以用来表示正弦量信号的频率谱，简称频谱。

为说明这一点，使用一个实际的正弦量信号，如图2.9所示。图2.9a把正弦量信号表示为余弦信号xcos（t），它的振幅为1，频率为f0，相位为-π/3或-60°。图2.9b把正弦量信号表示为正弦信号xsin（t），它的振幅和频率与余弦信号相同，只是相位变成了π/6或30°。

根据式（2.16）和式（2.17），图2.9中的余弦信号和正弦信号可分别写为

从式（2.18）看，余弦信号xcos（t）两个频率分量的频率分别为±f0，幅值都等于1/2，相位分别为-π/3和π/3。由此得到，余弦信号xcos（t）的正频率分量的频率等于f0，幅值等于0.5和相位等于-π/3；负频率分量的频率等于-f0，幅值等于0.5和相位等于π/3。根据这些数据画出的余弦信号xcos（t）的频率谱如图2.10a所示。

对于式（2.19），先说明其中的复指数e-jπ/2和ejπ/2是如何产生的。两者都是从式（2.17）分母中的j变来的（因为j=ejπ/2，所以1/j=e-jπ/2）。另外，式（2.17）右边方括号内的减号，在式（2.19）中变成了加号，所以要乘以-1；而-1=ejπ或e-jπ。这使式（2.19）右边加号后面的第一个复指数从e-jπ/2变成ejπ/2。

由此，正弦信号xsin（t）的两个频率分量的频率也分别为±f0，幅值也都等于1/2，相位也分别为-π/3和π/3。或者说，正弦信号xsin（t）的正频率分量的频率等于f0，幅值等于0.5和相位等于-π/3；负频率分量的频率等于-f0，幅值等于0.5和相位等于π/3。根据这些数据画出的正弦信号xsin（t）的频率谱如图2.10b所示。由图2.10可以看出，图a和图b完全一样，因为两者是同一个信号。由此可以想到，在画正弦信号的频率谱时，先把它变成余弦信号后再画出，会比较容易。

在图2.10a和b中，上面的图称为幅值谱，下面的图称为相位谱。这两张图与图2.9a和b中的时域波形包含了相同的信息，但图2.10显得比较简洁、清晰。这是频域表示法的优点。此外，图2.10中的8条垂线（包括小圆点）叫作谱线；而由谱线组成的谱图（即图2.10a和b中的谱图）叫作线谱，因为它们都是由垂直的谱线组成的。这与本章下面要讲到的非周期信号的连续谱有不同的含义。再有，从图2.10看，幅值谱都是偶对称的，相位谱都是奇对称的。但前提是，时域信号必须是实信号。时域复信号（在通信等领域会遇到）的频率谱就没有这样的对称性。

2.1.2.3 简洁的频域表示法

对于图2.10中的频率谱，可以有简洁的表示法。这就是把图中的幅值谱和相位谱合起来，变成图2.11a中的频率谱。如果余弦信号的相位等于零，图2.11a中的频率谱就变成图2.11b中的频率谱。由于图中的每条谱线都是用幅值和相位标出的，所以是一个复数。这种简洁的线谱图有时会很有用。

2.1.2.4 双边谱和单边谱

图2.10所示的频率谱被称为双边谱。当把正弦量信号展开为两个复指数时，就得到双边谱。与双边谱对应的是单边谱。单边谱是只包含正频率部分的频率谱。如果把图2.10中的双边谱变成单边谱，只需把信号的幅值加倍，而相位取正频率的相位。图2.12表示两个正弦量信号的单边谱。两者分别为余弦信号xcos（t）=6cos（10πt+π/3）和正弦信号xsin（t）=10sin（10πt+π/6）。余弦信号xcos（t）的参数为幅值等于6，频率等于5Hz，相位等于π/3。对于正弦信号xsin（t），可以先转换成余弦信号。它的幅值和频率保持不变，只是相位变成π/6-π/2=-π/3。从图2.12可以看出，这两个信号有不同的单边谱，所以是两个不同的信号。