2.1.1 四轮驱动拖拉机模型

1.13自由度动力学模型

7自由度车辆模型包含车辆质心的纵向、侧向、横摆及4个车轮的回正运动7个自由度，这种模型有一个假设前提，即车辆运动始终在水平面进行。拖拉机打滑的产生往往伴随着车轮下陷和车身倾斜，由于车辆自身重力的存在，车身姿态的变化会给拖拉机运动造成影响。为了能够更准确地研究拖拉机的运动，本书在综合考虑行驶时的前轮转角、驱动力矩及车身姿态等多条件输入的基础上，建立自走式四轮驱动13自由度动力学模型。如图2-1所示，13自由度是在传统7自由度车辆模型的基础上，加入了俯仰、横滚两个对喷雾机动力学产生影响的车身转动自由度，以及4个驱动轮绕轮轴转动自由度。

本书定义了3种参考坐标系，第一种是固结在拖拉机质心上，随动的车身坐标系OcXcYcZc（见图2-1）；第二种是以各车轮中心为原点，随动的车轮坐标系OXYZ（见图2-2）；第三种是地面惯性坐标系OInXInYInZIn（见图2-3）。地面惯性坐标系用于描述车辆的绝对运动，原点OIn固结于地面，XInOInYIn平面与地面重合，ZIn轴垂直于地面向上。车身坐标系的Xc轴指向车身正前方，Yc轴指向车身正左侧方，Zc轴与车身XcOcYc面垂直向上。

拖拉机始终行驶在地面上，因此，要使拖拉机在水田作业时避免打滑，对其受力分析最终要体现在车身纵向侧向受力所处的平面中，即车身坐标系的XcOcYc平面，图2-4标注出了整车模型在XcOcYc平面上的受力和转向状态。

拖拉机整车模型中的各参数说明如表2-1所示。

在车轮模型中，纵向受力以车轮纵向为正；侧向受力以车轮左侧为正；垂向受力以向上为正；车轮侧偏角以车轮纵轴在实际轮心速度方向左侧为正。反之，为负。

在车身模型中，纵向受力以车身正前方为正；侧向受力以车身正左方为正；垂向受力以向上为正；车身侧偏角以车身纵轴线在质心实际速度方向左侧为正。反之，为负。

2.拖拉机数学模型

分析车辆行走过程，针对拖拉机结构特征和功能及防滑控制的要求，拖拉机数学模型需进行分类细化，共包括转向分析、整机动力学方程、车轮模型、轮胎模型4部分。

阿克曼理论转向模型如图2-5所示。

阿克曼理论转向模型的特点如下。

（1）车辆在直线行驶时，4个车轮的轮轴线相互平行，且与车辆的纵向中心面垂直。

（2）车辆转向时转向中心O位于后轮轴的延长线上，前轮偏转左右前轮轮轴的延长线与后轮轮轴的延长线相交于转向中心。

设系统输入转向角ζ代表前轴中心点速度与车辆纵向的夹角，则根据图2-5中的几何关系，ζ，δ，δ*有如下表达式：

在式（2-1）中，L1、L2、B是车辆的固定参数，ζ是输入设定值，前轮转角的计算公式为

拖拉机平动分析主要在纵向和侧向运动，由于农田作业车速较低，所以，可忽略空气阻力，M为拖拉机质量，拖拉机运动的动力学方程如下。

（1）纵向运动。

（2）侧向运动。

（3）横摆运动。在车身坐标系内拖拉机的横摆运动方程如下。

式中，

大多数农田作业拖拉机采用前轮转向方式，前部车轮中心与前车轴中心的距离公式为

后部车轮中心与后车轴中心的距离公式为

车轮是拖拉机与地面的接触机构，车轮的受力状况直接关系到车辆的稳定性，因此，建立车轮模型对于整车动力学模型的研究是十分重要的。

1）车轮轮心速度计算

各车轮轮心实际速度可通过车辆质心处的速度计算得出，在车身坐标系下，车轮轮心速度的计算公式为

式中，uij——各车轮轮心速度。其中，i=f，r——前轮、后轮；j=L，R——左轮、右轮。

2）车轮滑动率计算

车轮转速大于车轮轮心速度称为车轮滑转，车轮转速小于车轮轮心实际速度称为车轮滑移，文献中将车轮滑转率与滑移率统称为滑动率。在不同文献中，对车轮滑动率的定义方式存在差别，目前使用较多的定义方式如下：

S>0，代表车轮滑转；S<0，代表车轮滑移。

式中，S——车轮滑动率。

u——车轮中心速度，m/s。

v——车轮转速，m/s。

考虑到轮胎转向过程中存在侧向运动，需要分别定义纵向滑动率和侧向滑动率。

驱动时的纵向滑动率为

驱动时的侧向滑动率为

制动时的纵向滑动率为

制动时的侧向滑动率为

总滑动率为

式中，ωij——各车轮转动角速度，rad/s。

rij——各车轮静力半径，m。

αij——各车轮侧偏角，rad。

uij——各车轮中心速度，m/s。

车轮静力半径是指车辆静止时车轮中心到地面的距离。由于作业速度较低，可以用车轮静力半径代替滚动半径进行计算。车轮静力半径如图2-6所示。

车轮静力半径计算公式为

式中，r0——车轮悬空时的几何半径，即自由半径，m。

kw——轮胎弹簧刚度系数，N/m。

Fz——车轮承受的垂向载荷，N。

3）车轮侧偏角与整车质心侧偏角计算

结合13自由度动力学模型，拖拉机各个轮胎的侧偏角可由以下公式获得：

式中，αfL、αfR、αrL、αrR分别是左前轮、右前轮、左后轮、右后轮的轮胎侧偏角。

质心位置的侧偏角为

4）车轮垂向载荷计算

车轮垂向载荷是计算轮胎与地面摩擦力的关键参数，不考虑惯性阻力矩和空气阻力的情况下，拖拉机左转弯时各个轮胎的垂直载荷为

5）车轮的转动动力学方程

车轮在土壤上滚动时，在力的作用下，轮胎和土壤都会产生变形，单个车轮的受力简图如图2-7所示。

拖拉机单个车轮的驱动动力学方程为

式中，Jw——车轮转动惯量，kg⋅m2。

——车轮转动加速度，rad/s2。

地面对车辆的直接作用对象是轮胎，建立能够准确表现轮胎运动状态的轮胎模型是车辆控制技术研究的关键问题之一。为了简化分析和研究的过程，轮胎在稳态运动状况下的运动一般用轮胎稳态模型来描述。目前，轮胎稳态模型主要分为3类：半经验模型、经验模型和理论模型。半经验模型是通过试验测试数据和理论分析的结果之间存在的关系而建立的近似经验模型，主要包括魔术公式模型（Magic Fomula）和UniTire模型，是目前轮胎模型研究的重点；经验模型是利用一定的经验公式拟合试验测试数据结果建立的模型，主要包括Burckhardt模型、LC模型、K-D模型等；理论模型是根据轮胎变形的物理过程建立的轮胎力学模型，主要包括刷子模型、LuGre模型、UA模型、线性模型和Dugoff模型。其中，魔术公式模型在目前的轮胎特性分析和仿真中最为准确，但是该公式模型的非线性函数参数太多，参数拟合估计困难，难以用于控制系统设计中。

本书为准确描述不同路面上车轮滑转率S与车轮—地面附着系数µ之间的关系，在易于参数拟合的原则下，选择使用Burckhardt模型。在该模型下附着系数的表达式为

式中，Ks——Kamm修正系数。

μij、——轮胎与地面之间的综合、纵向、侧向附着系数。

c1、c2、c3——Burckhardt模型各拟合参数，由大量试验获得。

Burckhardt等通过大量的试验拟合了6种典型路面的μ-S曲线，如图2-8所示，并通过求极值的方法得到了6种典型路面的最佳滑转率和峰值附着系数，如表2-2所示。

最佳滑转率的计算公式为

峰值附着系数的计算公式为

路面对轮胎的作用力在路面平面内分为沿车轮平移方向的纵向力和与此垂直的侧向力。在轮胎侧偏角的存在下，轮胎受到的纵向力和侧向力的表达公式为

式中，Fz——地面给车轮的垂向作用力，N。

Fx、Fy——轮胎受到的纵向力、侧向力，N。

将式（2-19）、式（2-21）、式（2-23）中各个车轮的数据分别代入式（2-26）中，计算即可得到各个车轮在车身坐标系中受到的纵向力和侧向力。

单纯在Burckhardt轮胎模型下，各个车轮的回正力矩无法求解，然而，回正力矩在本书模型下的动力学分析中是不可或缺的，因此，还需要在Burckhardt轮胎模型的基础上找到一种获得各车轮回正力矩的方法。目前有几种典型的回正力矩模型，分别为德国汽车专家Manfred Mitschke提出的轮胎侧向力与回正力矩模型；郭孔辉院士提出的基于轮胎侧偏特性的回正力矩半经验模型；Prof J.Reimpell教授提出的垂向力、侧向力和纵向力综合作用下的回正力矩模型。其中，回正力矩半经验模型是将回正力矩简化为轮胎所受纵向力和侧向力共同作用的结果，本书采用这种模型计算各个车轮的回正力矩。该模型通过拟合回正力臂的变化来简化求解，轮胎变型受力简图如图2-9所示。

在XOY平面中，轮胎在纵向受力及侧向受力的作用下，分别产生了轮胎纵向偏距Dx和轮胎侧向偏距Dy，该车轮的回正力矩的简化计算公式为

式中，Fx——轮胎纵向力，N。

Fy——轮胎侧向力，N。

Dx——轮胎纵向偏距，m。

Dy——轮胎侧向偏距，m。

Mz——车轮回正力矩，N·m。

Manfred Mitschke在文献中给出了轮胎纵向偏距的计算方法，计算公式为

假定轮胎的纵向刚度与侧向刚度相同，则在侧偏角α下，轮胎侧向偏距Dy与轮胎纵向偏距Dx满足：