1.3.2 矩阵的基本运算

（1）矩阵的加法运算。当两个矩阵相加时，它们的行数和列数必须相等。设矩阵和矩阵都是m×n矩阵，它们相加后还是m×n矩阵，第i行第j列对应的元素是a_ij+b_ij，即

（2）矩阵的数乘运算。矩阵的数乘运算是指将一个数与一个矩阵相乘，即这个数与矩阵的每个元素相乘。若k是一个数，是m×n矩阵，则数k与矩阵A的数乘定义是

（3）矩阵的乘法运算。矩阵的乘法运算是指当两个矩阵相乘时，用左边矩阵的行乘以右边矩阵的列得到新矩阵的元素。因此，矩阵A乘以矩阵B，要求矩阵A的列数等于矩阵B的行数，否则两个矩阵不能进行乘法运算。设矩阵是m×q矩阵，矩阵是q×n矩阵，定义矩阵A与矩阵B的乘积是一个m×n矩阵C_m×n，其中矩阵C_m×n的第i行第j列元素是

矩阵的乘法运算可以简记为C=AB。

例1.1 设矩阵A和B是

计算矩阵乘积AB和BA。

解：根据式（1.6），有

根据例1.1可得，矩阵的乘法运算不满足交换律，即在一般情况下，AB≠BA。根据矩阵的乘法运算可以定义矩阵的幂运算。设矩阵A是n阶方阵，k个矩阵A相乘称为矩阵A的k次幂，记为Ak。当k等于零时，A0记为单位矩阵，即A0=I。一般来说，（AB）k≠AkBk。

（4）矩阵的逐点乘积。矩阵A和矩阵B对应的元素相乘称为矩阵A和矩阵B的逐点乘积，记为

（5）矩阵的转置运算。矩阵A的行换成同序号的列得到的新矩阵称为A的转置矩阵，一般记作AT。若矩阵A是

则矩阵A的转置是

例1.2 设矩阵A和矩阵B是可以相乘的，证明（AB）T=BTAT。

证明：不妨假设矩阵A和矩阵B分别是A=（a_ij）_m×q，B=（b_ij）_q×n，记C=（c_ij）_m×n=AB，则矩阵C转置的元素是

记D=（d_ij）_n×m=BTAT，BT的第i行是矩阵B的第i列，即，同样可以得到AT的第j列是，因此有

所以有D=CT，从而有（AB）T=BTAT。

对称矩阵与Hermite矩阵。若方阵A满足AT=A，即a_ij=a_ji，则A是对称矩阵。当矩阵A的元素a_ij是复数时，用表示a_ij的共轭复数，记，称是矩阵A的共轭矩阵。满足的复方阵是Hermite矩阵，一般记作AH，它表示矩阵A的转置取共轭，即。