古希腊数学

古希腊几何学

大约在公元前7世纪，希腊和埃及之间商贸往来频繁。随着商品的交换，思想交流自然而然也在同时进行。渴求知识的希腊人经常跟随埃及祭司学习。泰勒斯（Thales）、毕达哥拉斯、恩诺皮德斯（Oenopides）、柏拉图、德谟克利特（Democritus）、欧多克索斯（Eudoxus）都曾去过埃及。埃及的思想因此漂洋过海来到希腊，刺激了希腊学术思想的发展，将其引向新的发展道路，并为希腊学术的进一步发展奠定了基础。因此，古希腊文化并非完全产生于本土。在数学、神话和艺术领域，古希腊人都学习了古埃及文明；虽然古希腊的初等几何研究受益于古埃及，但这并没有减少我们对古希腊人的景仰。古希腊哲学家给古埃及几何学带来了根本性变化。柏拉图说：“无论我们希腊人得到什么，都会不断完善、完善，再完善。”但另一方面，希腊人又有强烈的推理欲，渴望发现现象背后的原因。他们喜欢思考理想情况下的事物关系，只热爱科学本身。

关于欧几里得（Euclid）之前的古希腊几何学，我们的参考资料仅有一些古代学者的零散记录。早期古希腊数学家泰勒斯和毕达哥拉斯的研究没有留下任何书面记录。亚里士多德的学生欧德莫斯（Eudemus）曾撰写过这段时期希腊几何学和天文学的完整历史，但已失传。普罗克鲁斯（Proclus）在对《几何原本》研究的批注中给出了欧德莫斯的摘要内容。该摘要现在是我们最可靠的研究文献。接下来，我们将以《欧德莫斯概要》为名经常引用这一文献。

伊奥尼亚学派

泰勒斯（见图1-2）是米勒图斯（Miletus）人，“七贤”之一，伊奥尼亚学派（Ionic School）创始人。他是将几何学引入希腊的功臣。中年时期，他因商业活动前往埃及。据说他在那里居住了一段时间，并跟随埃及祭司学习物理学和数学。普鲁塔克（Plutarch）称，泰勒斯很快就超越了他的老师。他通过测量金字塔的阴影去计算金字塔的高度，这令阿玛西斯（Amasis）国王大开眼界。按照普鲁塔克的说法，测量的依据是已知长度的垂直杆与其所投射的阴影长度之比，与金字塔高度及其阴影长度之比相同。这种解法需要了解比例知识，而阿默士纸草书表明，埃及人了解基础比例知识。第欧根尼·拉尔修则说，泰勒斯使用了其他方法测量了金字塔，即某物阴影等于其自身长度时，测出此刻金字塔的阴影长度。也许两种方法都采用了。

《欧德莫斯概要》认为，泰勒斯发现了垂直角相等定理和等腰三角形底角相等。此外，泰勒斯还发现圆的直径等分圆，一边和两相邻角相同的两三角形全等。其中，（我们有理由怀疑）他将最后一个定理与相似三角形相关定理结合在一起，用于测量船舶到岸边的距离。因此，泰勒斯是首个将几何理论应用于实践的人。一些古代学者称，泰勒斯发现，所有内接于半圆的角都是直角，而另外一些学者则认为这是毕达哥拉斯的发现。泰勒斯无疑非常熟悉古人没有记录下来的其他定理。据推测，泰勒斯知道三角形三角之和等于两个直角，等角三角形的边长成比例。古埃及人必定在直线上运用了上述定理。我们在阿默士纸草书中找到了这些定理的示例。但最终是古希腊哲学家指出了其中的真理，用明确的、抽象的科学语言表达了出来，并给出了证明方法。其他人也意识到了这些发现，但却没有表述出来。据说，泰勒斯发现的线几何属于抽象科学，而埃及人的研究只涵盖了平面几何和立体几何基础，属于经验科学。

泰勒斯是第一位研究天文学的古希腊数学家。他在成功预言了公元前585年的日食后声名大噪。他究竟是准确预测了日期还是仅仅是年份，我们不得而知。据说他有一次在傍晚散步时望着星空深思而掉进沟里，照顾他的老妇人大叫道：“如果你连脚下都不看，怎么知道天空的事情呢？”

泰勒斯有两个学生最为出色，他们是阿那克希曼德和阿那克西美尼。他们主要研究天文学和物理哲学。阿那克西美尼的学生阿那克萨戈拉是伊奥尼亚学派的最后一位哲学家，关于他我们了解得不多。我们只知道他被关在监狱时试图通过解决化圆为方问题打发时间。这是已知数学史上第一次有人提出化圆为方问题。这个让无数数学家栽了跟头的难题需要求出圆周率确切值。中国数学家、古巴比伦数学家、希伯来数学家和古埃及数学家都对这一值进行了估计。但是求出其精确值是一个棘手的问题，从阿那克萨戈拉时代到当代，这个问题已经引起了许多人的关注。阿那克萨戈拉没有给出任何解法，幸运地避免了得出某种谬论。但是之后，化圆为方问题很快引起了广泛关注。公元前414年，喜剧诗人阿里斯托芬（Aristophanes）在其戏剧《鸟》（Birds）中提到了这一问题。

大约在阿那克萨戈拉同时代，另一位数学家恩诺皮德斯同样成就非凡，但他与伊奥尼亚学派没有接触。普罗克鲁斯认为他解决了以下问题：过一点作给定直线的垂线，在线上作一角与给定角相等。解决诸如此类基本的问题即可获得声誉，这表明当时的几何学仍处于起步阶段，古希腊人尚未超越古埃及人的数学体系。

伊奥尼亚学派存在了100多年。与古希腊历史后期发展相比，该时期的数学进展缓慢。毕达哥拉斯的出现改变了这一状况。

毕达哥拉斯学派

毕达哥拉斯属于这样一种人，他们的成就超出了后人的想象，以致无法消除笼罩在他们身上的神话迷雾而发现历史真相。在排除了一些最让人怀疑的说法之后，我们得到了毕达哥拉斯的下列信息。他是萨摩斯（Samos）人，在锡罗斯岛跟费雪西底学习。之后，他拜访了年老的泰勒斯，泰勒斯极力鼓励他去埃及学习。他在埃及定居多年，也许还去过巴比伦。返回萨摩斯岛后，他发现萨摩斯处于波利克拉特斯（Polycrates）的暴政统治之下。由于未能在萨摩斯建立一所学校，他再次离开，并追随古希腊文明的潮流搬迁至意大利南部的大希腊（Magna Graecia）。他定居在克罗顿（Croton），并创立了著名的毕达哥拉斯学派。这个学派不仅是哲学、数学和自然科学的学派，而且是一个兄弟会般的团体，其成员终生团结一致，并且有着共济会一般的仪式。毕达哥拉斯学派禁止成员透露学派的研究发现和学说。因此，我们不得不将毕达哥拉斯学派作为一个整体来讨论，并且很难确定每个具体发现应归功于谁。毕达哥拉斯学派习惯将每项发现都归功于该学派的伟大创始人。

毕达哥拉斯学派发展迅速，获得了很高的政治地位。但是，他们模仿古埃及人引入了一些神秘仪式，并且存在贵族政治倾向，结果引起了人们的怀疑。南意大利的民主党起义并摧毁了毕达哥拉斯学院。毕达哥拉斯逃到塔伦图姆（Tarentum），之后又逃到梅塔蓬图姆（Metapontum），在那里他被杀害。

《欧德莫斯概要》称：“毕达哥拉斯对几何学进行了彻底的研究，将几何学研究转变为通识教育。”他的几何学研究与他的算术研究紧密相连。他特别喜欢那些可以用算术表达式表示的几何关系。

像古埃及几何学一样，毕达哥拉斯的几何学研究也非常关注面积。毕达哥拉斯发现了重要的勾股定理，即直角三角形的斜边的平方等于其他两边的平方和。他可能此前从埃及人那里得知，在特殊情况下，即三角形三边边长分别为3、4、5时，这一陈述是成立的。传说中，这一发现令毕达哥拉斯异常兴奋，以至于他举行了一场百牲祭。这一故事的真实性曾令人怀疑，因为毕达哥拉斯学派的人反对杀戮。在新毕达哥拉斯学派（Neo-Pythagoreans）的后期传统中，“用面粉制成的牛”取代了血腥献祭。自此，人们不再质疑故事的真实性。欧几里得的《几何原本》第一卷第47命题中给出的勾股定理的证明由欧几里得本人给出，而非出自毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯的证明方法一直引发着众多猜想。

毕达哥拉斯学派采用欧几里得的方法证明了三角形的三角之和的定理（泰勒斯大概也了解这一定理）。他们还证明，围绕一个点的平面可以由6个等边三角形、4个正方形或3个正六边形完全填充，因此可以将一个平面分为其中任意一种图形。

四面体、八面体、二十面体和立方体等几何体都从等边三角形和正方形中产生，这些几何体除了二十面体，埃及人很可能都知道。在毕达哥拉斯学派哲学中，这四种几何体分别代表物质世界四种基本元素，也就是火、气、水和土。后来他们又发现了另一种规则几何体，即十二面体，在没有第五种元素的情况下，十二面体被用来代表宇宙本身。

毕达哥拉斯把球体看作最美丽的几何体，而圆则是最美丽的平面图形。他和他的学派对比例和无理数的问题的研究将在古希腊算术部分介绍。

根据欧德莫斯的说法，毕达哥拉斯学派发现了《原本》第六卷命题28、29所述的面积应用相关的数学问题，包括有缺失面积和多余面积的情况。

他们能够熟练构造与给定多边形面积相等或与之相似的多边形。解决这一问题依赖于几个重要且较先进的定理，这证明了毕达哥拉斯学派在几何学方面的成就不容小觑。

在通常认为是该意大利学派的定理中，有些定理的发现不能认为是毕达哥拉斯本人，也不能认为是他最早的继任者，因为从经验到逻辑的转变必定是缓慢的。值得注意的是，在圆领域，毕达哥拉斯学派未能发现任何重要定理。

尽管政治破坏了毕达哥拉斯学派的团体关系，但是毕达哥拉斯学派至少继续存在了两个世纪。晚期毕达哥拉斯学派学者中，菲洛劳斯（Philolaus）和阿契塔（Archytas）最为出名。菲洛劳斯写了一本关于毕达哥拉斯学派学说的书。该学派在一个世纪以来一直在进行秘密研究，是他首先向世界展示了该意大利学派的理论。塔伦图姆的阿契塔是一名杰出的政治家和将军，以其品德而广受赞誉，柏拉图开办学院时，他是希腊唯一的伟大几何学家。阿契塔是第一个将几何学系统应用于力学的人。他还发现了一个倍立方问题的非常巧妙的机械解法。他的解法包含了关于圆锥体和圆柱体产生的清晰概念。阿契塔将倍立方问题简化为求两条给定线段间的两个比例中项的问题。阿契塔从半圆柱截面得到了这两个值，比例学由此得到进一步发展。

有充足理由相信，晚期毕达哥拉斯学派对雅典的数学研究和发展产生了深远影响。智者学派在几何学方面借鉴了毕达哥拉斯学派，而柏拉图曾购买过菲洛劳斯的作品，并且是阿契塔的亲密朋友。

智者学派

公元前480年，萨拉米斯（Salamis）战役爆发，波斯人在薛西斯（Xerxes）的领导下被击败，之后，古希腊人组成同盟，以保卫解放的爱琴海（Aegaean）诸岛屿及海岸各城邦的自由。雅典人很快成为这个城邦的领导者和独裁者。雅典将联盟各城邦独立的财政合并用于发展壮大雅典。雅典也是一个伟大的商业中心，因此，雅典成了当时最富有、最美丽的城市。所有体力工作都由奴隶承担。雅典公民生活富裕，拥有大量闲暇时间。雅典政府是纯粹的民主政府，每个公民都是政客。为了提高公民个人在大众中的影响力，他必须接受教育。因此，教学需求顺势产生。雅典人的教师主要来自毕达哥拉斯学派学说广泛传播的西西里岛，这些老师被称为“苏菲学派”或“智者学派”。与毕达哥拉斯学派不同，他们付费教学。尽管修辞学是他们教学的主要内容，但他们也教授几何学、天文学和哲学。雅典很快成为古希腊学者特别是数学家的大本营。古希腊人的数学之乡首先在伊奥尼亚群岛，然后在南意大利，而我们目前讨论的是雅典的这段历史时期。

智者学派关注了毕达哥拉斯学派完全忽略的圆几何。他们所有的发现几乎都与为解决以下3个著名问题而进行的无数次尝试相关：

（1）将弧或角三等分；

（2）“倍立方”，即找到一个体积为给定立方体2倍的立方体；

（3）“化圆为方”，即作一正方形或其他直线图形与给定圆面积完全相等。

这些问题可能是数学史上讨论和研究最多的数学问题。二等分角是几何学中最简单的问题之一。然而，三等分角却出乎意料地困难。毕达哥拉斯学派已经将直角分为3个相等的部分。然而，这一普通作图问题虽然看似简单，仅靠直尺和圆规却无法实现。最早试图攻克这一难题的是苏格拉底的同代人希庇亚斯。他出生于公元前460年左右。他和其他古希腊几何学家没有仅靠直尺和圆规解决这一问题，而是采取了其他手段。普罗克鲁斯提到，一个叫希庇亚斯的人发现了超越曲线（transcendetal curve）。后来，狄诺斯特拉托斯（Dinostratus）和其他人使用了这一曲线化圆为方。因此，它也被称为割圆曲线。可以这样描述该曲线：图1-3中正方形的边AB绕A旋转，点B沿着圆弧BED移动。同时，侧边BC从初始位置均匀地移动到AD位置，过程中始终平行于自身。这样移动时，AB和BC相交处是割圆曲线BFG，其当代方程式为。古人只考虑了位于圆弧象限内的那部分曲线。他们不知道x=±2r是渐近线，也不知道存在无穷的分支。根据帕普斯（Pappus）的说法，狄诺斯特拉托斯通过建立BED：AD=AD：AG的定理来实现化圆为方。

毕达哥拉斯学派表明，若一个正方形的边为另一正方形的对角线，则其面积是原始正方形的2倍。这表明他们也许在试图解决倍立方问题，即求出具有给定立方体体积2倍的立方体的边长。关于这一问题的起源，埃拉托塞尼（Eratosthenes）给出了另一种说法。提洛人（Delians）曾遭受瘟疫侵袭，神谕命令他们将某个立方坛的体积加大1倍。不假思索的工人只是简单地建造了一个边长为原立方体2倍的立方体，但像这样的愚笨工作却无法安抚诸神。发现错误后，提洛人就此事咨询了柏拉图。他和他的门徒们迫切想知道“提洛问题”的解法。希波克拉底对这个问题做出了重要贡献。他是位才华横溢的数学家，但财产被剥夺后，他明显变得反应缓慢且愚蠢。也有人说他是第一个进行付费教学的人。他证明，可以将“提洛问题”简化为求一条给定线段与另一条两倍长线段之间的两个比例中项问题。例如a：x=x：y=y：2a，于是x2=ay, y2=2ax, x4=a2y2，所以x4=2a3x，由此可得x3=2a3。虽然，他最后未能通过直尺和圆规的几何构造找到两个比例中项，但他在弓形面积方面的研究却让人们记住了他。根据辛普利修斯（Simplicius）的说法，希波克拉底认为他实际上已经成功地将求弓形面积方法应用于求圆的面积，但并非所有人都认为希波克拉底真正得出了这个谬论。

在第一次求出弓形面积时，希波克拉底做了一个等腰三角形ABC, C为直角，并在AB上绘制了一个直径为AB的半圆，半圆穿过C。他还在AC上绘制了一个直径为AC的半圆，该半圆在三角形ABC之外。这样形成的弓形面积是三角形ABC面积的一半。这是第一个精确曲线求积的示例。希波克拉底也完成了其他弓形的求积，毫无疑问，他希望最终解决化圆为方问题。1840年，托马斯·克劳森（Thomas Clausen）发现了其他可以求积的弓形，但在1902年，哥廷根的埃德蒙·兰道（Edmund Landau）指出，克劳森认为全新的四个弓形中，有两个为希波克拉底知晓。

在对化圆为方和倍立方问题的研究中，希波克拉底对圆几何发展做出了很大贡献。他证明了圆面积之比是直径平方之比，圆中相似的部分面积之比是弦的平方之比，并且包含相等的角度，在小于半圆的部分中，该角度是钝角。希波克拉底在几何逻辑方面做出了巨大贡献，他的研究是现存的最古老的“几何推理证明”。为了描述几何图形，他使用了字母，这种做法可能是从毕达哥拉斯学派引入的。

希波克拉底发展的相似图形问题涉及比例理论。迄今为止，比例仅被希腊人用于数字，他们从未成功地将数和量的概念统一起来，他们在有限的意义上使用术语“数”。我们所谓的无理数不包含在这个概念中，甚至有理分数都不被视为数字。在他们的语境中，“数”的含义与“正整数”的含义相同。因此，数被认为是不连续的，而量是连续的。因此，这两个概念看起来完全不同。欧几里得称：“量不可通约，彼此间没有与数字间相同的比例。”两者之间的鸿沟暴露无遗。《原本》将量的比例理论与数的比例分开讨论。比例理论从数到量（特别是长度）的转变是艰难而重要的一步。

在欧几里得的几何教科书《原本》写作完成后，希波克拉底的名声大噪。该书的出版表明，毕达哥拉斯学派的保密传统已被放弃。毕竟，保密与雅典人的生活理念格格不入。

希波克拉底同时代的智者学派学者安蒂丰（Antiphon）介绍了通过穷竭法解决化圆为方的方法。他有一个值得赞扬的发现。他指出，在一个圆中内接一个正方形或等边三角形，然后在其边上作等腰三角形，使其顶点在圆周上，再在这些三角形的边上作新的三角形，如此重复，则可以连续得到规则多边形，每个多边形都比前一个多边形更接近圆的面积，直到圆最终穷尽为止。由此可得边与圆周重合的内接多边形。由于可以找到面积等于任意多边形的正方形，因此也可以找到等于最后一个内接多边形，并且等于圆本身面积的正方形。安蒂丰同时代的学者布莱森在作内接多边形的同时作外接多边形，大大推动了这一问题的研究。然而，他错误地认为圆的面积是外接多边形和内接多边形之间的算术平均值。与布莱森和其他希腊几何学家不同，安蒂丰似乎相信，通过不断加倍内接多边形的边长，可以获得与圆重合的多边形。这个问题在雅典引起了激烈争论。辛普利修斯说，如果一个多边形可以与圆重合，那么我们必须抛弃量无限可分的思想。这个困难的哲学问题导致了难以解释的悖论，并阻止了古希腊数学家将无限概念引入几何学。严格的几何证明要求排除晦涩的概念。著名雄辩家芝诺（Zeno）提出，运动不可能存在。芝诺没有任何著作流传至今，我们只能通过批评他的学者柏拉图、亚里士多德、辛普利修斯等人了解他的学说。亚里士多德在其《物理学》第六卷第九章中将芝诺的四个论点总结为“芝诺悖论”。（1）“二分法”：你不可能在有限的时间内遍历无数个点；想要通过一段距离，你必须先遍历其中一半的点，然而遍历这一半的点你需要遍历其中前一半的点，就这样这一过程会无休止地进行下去，因此（如果空间是由点组成的）在任何给定的空间中都有无限个点，而且它不能在有限的时间内遍历。（2）“阿喀琉斯”：阿喀琉斯不能超越乌龟，因为，阿喀琉斯必须首先到达乌龟的出发点，但到那里时，乌龟又会稍微向前移动一点。然后，阿喀琉斯必须再次追赶，此时乌龟仍在前面，这样一来它总是离它很近，但永远赶不上它。（3）“飞矢不动”：在其飞行时的任何给定时刻，箭必定处于静止状态，位于某一定点。（4）“运动场”：假设存在并列的平行点三行，如图1-4所示，B无法移动，当A和C以相等的速度沿相反的方向移动，将进入图1-5中的位置。C相对于A的运动将是其相对于B的运动距离的2倍，换句话说，任何给定的C中的点经过A中的点是经过B中的点的2倍。因此，不可能存在某一瞬间从一点到另一点。

柏拉图说，芝诺的目的是“保护巴门尼德的观点免受那些取笑他的人的攻击”。芝诺辩称，“不存在许多”，并且，他否认复数的存在。自亚里士多德到19世纪中叶，学者普遍认为芝诺的推论是错误的。但是之后有学者提出，对芝诺的观点记录不完整且不准确，他的论证很严肃，逻辑严谨。库辛（Cousin）、格罗特（Grote）和坦纳（Tannery）提出了这种观点。他们声称芝诺并没有否认运动，但是他想表明，在毕达哥拉斯学派的空间观念下，由于空间是点的几何，运动是不可能的，他们提出，必须将这四个论点结合在一起，将其视作芝诺与对手之间的对话，并且这场争论中芝诺迫使对手陷入了两难。芝诺的论点牵扯到连续性、无穷大和无穷小的概念；与亚里士多德时代一样，它们也是当今数学界争论的话题，亚里士多德未能成功地解释芝诺的悖论，他没有回答学生心中出现的疑问：一个变量怎么能达到其极限？亚里士多德的连续统是一个可感知的物理实体。他认为，既然不能由点构成一条线，那么实际上不能将一条线细分为若干个点。“数量的连续二等分是无限的，因此无限可能存在，但实际上从未达到。”直到乔治·康托尔（Georg Cantor）提出连续统和集合理论，学者才能够对芝诺的论证给出令人满意的解释。

安蒂丰和布莱森在穷竭过程中使用了烦琐而又十分严密的“穷竭”法。在求两个曲线平面图形（例如两个圆）之间的面积比时，几何图形首先内接或外接相似的多边形，然后无限增加边数，几乎穷竭多边形和圆周之间的空间。根据定理：圆内接相似多边形面积比为直径上的正方形面积之比，几何学家可能会猜到希波克拉底提出的下面一条定理：与最后绘制的多边形有所差异但几乎相同的圆的面积之比为其直径的平方比。但是，为了排除所有模糊之处和疑问，之后的希腊几何学家应用了《原本》第十二卷第二章中类似中的推理，内容如下：设C和c, D和d分别为所讨论的圆和直径，那么，如D2：d2=C：c不成立，则假设D2：d2=C：c1。如果c1＜c，则多边形P可以内接于圆C中，同c1相比面积更接近c。如果P是C中的对应多边形，则P：p=D2：d2=C：c1，且P：C=p：c，由p＞c1得P＞C。这一结果显然是荒谬的。接下来，他们同样用归谬法证伪了c1＞c。由于c1不能大于或小于c，因此它必须等于c，证毕。汉克尔（Hankel）认为，希波克拉底是穷竭法的第一位使用者，但是并没有充分理由认为是他而不是更晚些的欧多克索斯发现了穷竭法。

尽管这一时期的几何学发展只能追溯到雅典的历史，但是伊奥尼亚，西西里岛，色雷斯（Thrace）的阿伯德拉（Abdera）、昔兰尼（Cyrene）都涌现出了一批数学家，他们为数学发展做出了令人称道的贡献。在这里，我们仅介绍阿伯德拉的德谟克利特（Democritus），他是阿那克戈拉斯的学生、菲洛劳斯的朋友和毕达哥拉斯的崇拜者。他曾去过埃及，甚至可能也到过波斯。他是一位成功的几何学家，并在不可公度线、几何学，数字和透视法方面都有所著述。但是他没有作品流传至今。他曾夸口说，没有人比他更擅长在附带证明的情况下构造平面图形，甚至埃及所谓的“harpedonaptae”（“司绳官”）也比不过他。这也算是他对古埃及人技巧和能力的认可。

柏拉图学派

伯罗奔尼撒战争（前431—前404）期间，几何学的发展受到阻碍。战后，雅典沦为次要政治势力，退居幕后，但雅典在哲学、文学和科学领域的领导地位却越来越突出。公元前429年，柏拉图出生于雅典，那一年恰好爆发了大瘟疫。他死于公元前348年。柏拉图是苏格拉底的学生和密友，但他的数学研究并非继承了苏格拉底的衣钵。苏格拉底去世后，柏拉图周游各地。在昔兰尼，他跟随西奥多罗斯（Theodorus）研究数学。之后，他去了埃及，然后去了南意大利和西西里岛，在那里他与毕达哥拉斯学派进行了交流。阿契塔和蒂迈欧后来成了他的亲密朋友。他在约公元前389年返回雅典后，在雅典学园的树丛中建立了自己的学院，余生倾心教学与写作。

柏拉图的物理哲学有部分基于毕达哥拉斯学派的哲学。像他们一样，他在算术和几何学中探索宇宙的奥秘。曾有人问他神的职业是什么，柏拉图答道：“他一直在研究几何学。”因此，几何知识是哲学学习的必要准备。为表示对数学的重视以及研究数学对高等推理的必要性，柏拉图在他的门廊上写上：“通晓几何者方可入内。”柏拉图的继任者色诺克拉底是雅典学园的老师，他紧随老师的脚步，拒绝接受未经数学训练的学生，并说：“哲学门外汉请离开。”柏拉图评论道，几何学训练能够使心灵学会准确而严密的思考。因此，《欧德莫斯概要》说：“他的著作中充满了新的数学研究成果，其中的各种问题都展示了数学与哲学之间的显著联系。”

因为有这样一位院长，所以我们不必奇怪柏拉图学派涌现出众多数学家。柏拉图几乎没有做过真正的原创工作，但他对几何学的逻辑和方法进行了重要改进。的确，智者学派的几何学家在证明方面相当严谨，但通常他们并不考虑所用方法的内在本质。他们使用公理却不给出明确的表达，他们使用一些几何概念比如点、线、面，但没有做出正式的定义，而是将点称为“位置统一体”，但这是哲学理论的陈述，而不是数学定义。柏拉图反对将点叫作“几何虚构物”，他将点定义为“线的起点”或“不可分割的线”，将线定义为“没有宽度的长度”。他分别将点、线、面称为线、面、体的“边界”。《原本》的许多定义和公理都可追溯到柏拉图学派。亚里士多德称，柏拉图提出了公理“等量减等量，其差仍相等”。

柏拉图和他的学派最大的成就之一就是发现了分析法作为数学证明方法。可以肯定，希波克拉底和其他人此前曾无意识地使用了这种方法。但是柏拉图像一个真正的哲学家一样，将逻辑直觉变成了一种有意识的合乎规范的方法。

术语“综合和分析”在数学中的使用比在逻辑学中更特殊。在古代数学中，它们与现在的含义不同。分析法的定义与综合法相反，最早在《原本》第十三卷命题5中给出，该定义极有可能由欧多克索斯提出：“分析法首先假设所寻求建立的命题成立，逐步推导结论成立的充分条件，最后归结至公认真理；综合法是通过逐步推理和证明推导出要建立的结论。”除非分析法中的所有操作已知可逆，否则它的结论不是决定性的。为了尽可能消除不确定性，希腊人一般在分析过程中会添加一个综合过程，其中包括对分析过程所有步骤的还原。因此可以说，分析法的目的是辅助发现综合法证明方法或综合法解法。

据说，柏拉图还解决了倍立方问题。但是，他的解法无法回应他对阿契塔、欧多克索斯和梅纳希姆斯（Menæchmus）的方案的怀疑。他认为，他们的解法不是几何解法而是机械解法，因为它们需要使用直尺和圆规以外的工具。他说：“几何学的优点就这样被毁弃。我们再一次将几何学拉低到感官世界，而不是将其升华，注入永恒的无形思想图像。要知道，几何学是神的工具，它是神为神的原因。”柏拉图的这一反对意见表明，要么这一解法并非他提出，要么是他想强调，非几何解法可以轻松找到。当代数学家已经确定，倍立方问题、角三等分问题和化圆为方问题无法仅仅依靠直尺和圆规解决。

柏拉图对体积测定法的发展也起到了积极的推动作用。此前，这个问题一直被希腊人完全忽视。他们对球体和常规几何体在一定程度上都有所研究，但棱柱体、棱锥体、圆柱体、圆锥体等几何体的存在几乎不为人所知。所有这些几何体都成了柏拉图学派的研究对象。这些研究取得了一项划时代的成果——柏拉图的副手和学生梅纳希姆斯发现了圆锥曲线。仅在1个世纪的时间里，这一曲线的发现就将几何学的发展推到了古代数学所能达到的巅峰。梅纳希姆斯于圆锥体一侧垂直切开了3种圆锥体，分别是“直角的”“锐角的”和“钝角的”圆锥体，并由此得到了我们现在所说的抛物线、椭圆及双曲线。利用这些曲线的交点，“提洛问题”得以解决。我们从这一优雅的解法得知，梅纳希姆斯在研究其属性方面必定取得了不小成功。他到底是以什么方式构造了这些曲线的图像的，我们不得而知。

另一位伟大的几何学家是狄诺斯特拉托斯，他是梅纳希姆斯的兄弟，也是柏拉图的学生。他使用希庇亚斯的割圆曲线设计的化圆为方的机械解法颇为知名。

欧多克索斯（Eudoxus）也许是“这一时期最杰出的数学家”。他出生于约公元前408年的尼多斯（Cnidus）。起初，他跟随阿契塔学习了一段时间，之后，他又跟随柏拉图学习了两个月。在跟随这些大师学习的过程中，他培养出了真正的科学探索精神。他被称作“天文观察之父”。埃德勒（Ideler）和席亚帕雷利（Schiaparelli）在后世学者的记录中找到了他的天文学研究的零星笔记，并成功重现了他的理论体系，其中以行星运动的“同心球”体系为代表。欧多克索斯在基齐库斯（Cyuzicus）开办了一所学校，他曾和学生一起去雅典拜访柏拉图，之后又回到了基齐库斯，他死于公元前355年。柏拉图学派的名望很大程度上得益于欧多克索斯的学生的努力，其中包括梅纳希姆斯、狄诺斯特拉托斯、阿忒纳乌斯（Athenaeus）和赫齐孔（Helicon）。第欧根尼·拉尔修将欧多克索斯描述为天文学家、医师、立法者和几何学家。《欧德莫斯概要》称，欧多克索斯“首次建立了一般性定理”，并且在已有的3个特殊比例值的基础上又添加了3个，并大大推进了柏拉图开创的“分割”研究，他在研究这一问题时应用了分析法。此处“研究”的意思毫无疑问指“黄金分割”（sectio aurea），“黄金分割”在极端比率和均值比率之间划出了界限。《原本》第十三卷中的前5个命题与线的黄金分割有关，通常认为是欧多克索斯发现了这些命题。欧多克索斯大大推动了立体几何的发展。阿基米德说，他证明了棱锥体体积是具有相同底和高的棱柱体的体积的，圆锥体体积是具有相同底和高的圆柱体的体积的。他很有可能也证明了球体体积之比等于半径立方之比。他经常熟练地使用穷竭法，因此也极有可能是此法的发现者。一位研究《原本》的学者（一般认为是普罗克鲁斯）曾说，《原本》第五卷的理论几乎都是欧多克索斯的成果。欧多克索斯还发现了两条给定线段之间的两个比例中项，但解法不明。

柏拉图被誉为数学家的缔造者。除了上述提到的学生外，《欧德莫斯概要》还提到以下内容：毫无疑问，《原本》第十卷、第十三卷以及对不可公度问题的研究应当归功于天才数学家泰阿泰德。勒俄达马斯（Leodamas）、内欧克莱兹（Neocleides）和他的学生里昂（Leon）为前代学者的研究做了大量补充。里昂经过精心研究写作了一卷《原本》，其中给出了大量问题的证明，并且很实用；修迪奥撰写了《原本》中的重要一卷，并证实了许多特殊命题的一般适用性；赫默提姆斯是《原本》许多命题的发现者，并且提出了一些轨迹相关命题；最后，还有阿米克拉斯、西日赛诺斯和菲利普斯。

另有一位优秀的数学家阿里斯特斯（Aristsæus），其生平和作品不详，他可能是与欧几里得同时代的一名重要数学家。他曾写过一本关于圆锥曲线的著作。因此，我们倾向于认为，在梅纳希姆斯执掌柏拉图学派时期，他们的研究取得了很大进展。阿里斯特斯还撰写了有关常规几何体的文章，并发展了分析法，他的作品可能囊括了柏拉图学派研究的概要。

亚里士多德则将演绎逻辑系统化。他虽然不是专业的数学家，但他改进了一些难以定义的数学概念，推动了几何学的发展。他的《物理学》一书的部分内容暗示了虚速度原理的存在。他对连续性问题的认识以及对芝诺反运动理论的反驳，是古希腊学者相关研究中最具价值的论述。大约在他同时期，出现了一本名为《力学》（Mechanica）的书籍，有人认为他是此书作者。但是，柏拉图学派完全忽略了力学的研究。

亚历山大第一学派

在前文中，我们见证了几何学在埃及的诞生，向伊奥尼亚群岛、南意大利和雅典的转移。之后，我们目睹了它在希腊从瘦弱的儿童长为强壮的男子汉的过程，接下来我们将看到它再次回到出生地，并重焕生机。

伯罗奔尼撒战争后，雅典走向了衰落，但同时却孕育了最伟大的科学家和哲学家。那是柏拉图和亚里士多德的时代。公元前338年，雅典在喀罗尼亚（Chaeronea）战役中被马其顿的菲利普（Philip）打败，自此，雅典彻底走向衰落。不久之后，菲利普之子亚历山大大帝（Alexander the Great）开始征服世界。11年间，他建立了一个伟大的帝国，但这个帝国却在一天之内就崩溃了。帝国的各部分中，埃及落入托勒密一世手中，亚历山大在埃及建立了亚历山大海港。不久之后，这座海港将成为“最高贵的城市”。托勒密一世定都于亚历山大。接下来的3个世纪的埃及史主要是亚历山大城的历史。亚历山大城的学者们将在文学、哲学和艺术等领域勤奋耕耘。托勒密创办了亚历山大大学，建立了宏伟的大图书馆、众多实验室和博物馆、散步长廊以及一座动物园。亚历山大很快成了当时重要的学术中心。

高夫称，地美特利阿·法乐罗斯（Demetrius Phalereus）受邀从雅典赶来负责管理大图书馆，欧几里得（Euclid）很可能也收到邀请同他一起开办数学学院。根据沃格特（Vogt）的研究，欧几里得出生于大约公元前365年，并于公元前330年到公元前320年写作了《原本》。我们对欧几里得的生平知之甚少，除了普罗克鲁斯在《欧德莫斯摘要》中添加的内容。普罗克鲁斯称，欧几里得比柏拉图年轻，比埃拉托色尼和阿基米德年长，后者曾提起过他。欧几里得属于柏拉图学派，并对柏拉图学派的学说贡献颇大。他编撰了《原本》，整理了欧多克索斯的许多研究，并继续了泰阿泰德（Theætetus）的大量工作。他首次尝试将前代有缺陷的解法改进为无懈可击的证明。托勒密曾问他，是否有比研究《原本》更简单的方法来掌握几何学，欧几里得回应道：“没有通往几何学的皇室捷径。”帕普斯称，欧几里得以其处事公正、善良而著称，特别是对那些愿意不惜一切促进数学发展的人。帕普斯显然是在把他和阿波罗尼奥斯（Apollonius）相比较，而且他说得相当直白。斯托巴乌斯（Stobaeus）曾讲述了这样一个小故事：一位刚开始学习几何学的年轻人问欧几里得：“学这些东西我能得到什么？”欧几里得于是叫来一个奴隶，对他说：“去给这个年轻人拿3便士，他必须从学到的知识中获利。”这些大概就是希腊学者记录的所有欧几里得的个人生活细节。一些叙利亚和阿拉伯的学者声称，他们了解得更多，但他们的记录并不可靠。有一段时期，他们曾普遍将亚历山大里亚的欧几里得与1个世纪前的梅加拉（Megara）的欧几里得混为一谈。

欧几里得的名气始终主要依靠他的几何学著作《原本》。到目前为止，这本书都优于希波克拉底、里昂和修迪奥撰写的《原本》，以至于后作在竞争中很快被遗忘。希腊人称呼欧几里得为“《原本》作者”。在几何学史上，一个了不起的事实是，欧几里得2000多年前所写的《原本》现在仍被一些人视为数学最佳入门书籍。在英国，直到19世纪末，它一直被广泛用作教科书。但是，《原本》的一些编辑倾向于将欧几里得不应得的荣誉也归功于他。他们试图让我们相信，欧几里得的头脑中诞生了一个完整且无懈可击的几何体系，“欧几里得是来自朱庇特（Jupiter）头部的全副武装的密涅瓦（Minerva）。”他们未能指出，欧几里得从更早的知名数学家那里搜集到了一些资料。《原本》中的命题和证明只有很少一部分是他自己的研究发现。实际上，只有“毕达哥拉斯定理”的证明可算作他的直接发现。奥尔曼（Allman）推测，《原本》第一卷、第二卷、第四卷的内容来自毕达哥拉斯学派，第六卷的实质内容应当归功于毕达哥拉斯学派和欧多克索斯，后者对适用于不可公度量的比例理论和“穷竭法”（《原本》第七卷）做出了相当大的贡献。泰阿泰德对第十卷和第十三卷做出了巨大贡献，而欧几里得本人的原创成果主要分布于第十卷。通过对前代研究的仔细筛选，整理基于一些定义和公理的命题，他打造了一套引以为豪的崇高数学体系。他也没有将当时已知的所有基本定理都收入他的《原本》。阿基米德、阿波罗尼奥斯，甚至他本人也将一些未收入《原本》的定理称为众所周知的真理。

目前，学校经常使用的《原本》教材是希恩（Theon）整理的版本。欧几里得死后大约700年，希帕蒂亚（Hypatia）的父亲希恩整理了《原本》的一个版本，并对内容进行了一些修改。结果，后来此书的注释者，尤其是罗伯特·西姆森（Robert Simson），认定欧几里得的数学思想完美无缺，并把希恩当成书中发现的所有缺陷的替罪羊。但是，在一份拿破仑一世从梵蒂冈寄给巴黎的手稿中，发现了一份据信早于希恩版《原本》的版本。学者发现了该版本与希恩版本的许多差异，但这些差异无足轻重。这证明，希恩通常只修改语言。因此，被算到希恩身上的《原本》缺陷一定是欧几里得本人的责任。《原本》过去曾被视为严密证明的模范。从逻辑严谨的角度说，它确实可以与现代数学著作相提并论。但是如果依照严格的数理逻辑，按查尔斯·佩尔斯的说法就是，它“充满了谬误”。书中的结果是正确的，只是因为欧里几得的经验使他足够警惕。在许多证明中，欧几里得都部分依赖于直觉。

在《原本》最初的版本中，在“定义”部分，欧几里得给出了诸如点、线等概念的假设以及一些口头解释。之后，此书给出了3个公设或前提要求和12个公理（axiom）。事实上，欧几里得本人使用的并不是这个词，而是“普遍观念”（common notion）——所有人和所有科学公认的观念。普罗克鲁斯在描述《原本》时将欧几里得的“普遍观念”称为“公理”。古代和现代的评论家对公设和公理的争论很多。大量的手稿和普罗克鲁斯的证明都将直角和平行的相关“公理”视为公设，这种分类确实合适，因为它们实际上就是假设，而非所谓的普遍观念或公理。平行相关公设在非欧几何的历史中起着重要作用。可喜的是，欧几里得错过了重要的叠合公设。根据该假设，图形可以在空间中移动，而形式或大小不发生任何变化。

《原本》包含13卷著作，其中作者有欧几里得，还有2卷的作者一般认为是海普西克利斯（Hypsicles）和大马士革乌斯（Damascius）。前4卷讨论平面几何，第五卷将比例理论广泛地应用于量的一般研究。严谨的研究方法使这一卷倍受赞誉。初学者一般会觉得这一卷难以理解。欧几里得对比例的定义用现代符号表示为：设存在成比例的4个量a、b、c、d，当m、n为任意整数，同时可得ma＞nb，则mc＞nd。托马斯·黑斯（Thomas Heath）说：“可以确定，欧几里得对相等比值的定义和现代无理数理论[由戴德金（Dedekind）提出]之间存在几乎巧合一般的确切对应关系。泽森（Zeuthen）发现，欧几里得的定义与魏尔斯特拉斯（Weierstrass）对相等数的定义非常相似。第六卷发展了相似图形几何学，其中第27个命题是已知数学史上最早的最大值定理。第七卷、第八卷、第九卷是关于数论或算术的根据坦纳的说法，欧几里得认识到无理数存在这一点，必定极大地影响了《原本》的写作模式。古老的朴素比例理论被认为站不住脚，在前4卷中根本没有使用过比例，因为它的难度，欧多克索斯的理论被尽可能延后讨论。第七卷到第九卷是算术部分，是为第十卷全面讨论无理数所做的准备。第七卷通过辗转相除法（所谓的“欧几里得算法”）解释了两个数字的最大公约数。基于此定义，书中提出了（有理）数字比例理论：“若存在一组数字，第一个数字和第二个数字之比与第三个数字和第四个数字之比相同，则四个数字成比例。”据信，这一比例理论是毕达哥拉斯学派提出的。第十卷讨论了不可公度理论。德·摩根认为，这是全书最美妙的部分。我们将在“古希腊算术”一节中对它进行更全面的介绍。接下来的3卷是关于体积测定法的，第十一卷包含了更基本的定理，第十二卷讨论了棱柱体、棱锥体、圆锥体、圆柱体和球体的度量关系，第十三卷研究规则多边形，尤其是三角形和五边形，然后将它们用作5个规则几何体的面，即四面体、八面体、二十面体、立方体和十二面体。柏拉图学派对规则几何体进行了广泛研究，所以它们被统称为“柏拉图图形”。普罗克鲁斯称，欧几里得撰写《原本》的最终目的是要构造规则几何体，这种说法显然是错误的。关于立体几何的第十四卷和第十五卷的真实性存疑。有趣的是，直觉上看，对于欧几里得乃至所有古希腊数学家来说，面积的存在是显而易见的，但是他们没有想过面积值不可开方的情况。

在欧几里得和阿基米德之前，希腊几何学有一个显著特征：避免测量。因此，欧几里得并不熟悉三角形面积等于底与高之积除以2的定理，这个定理对他来说是很陌生的。欧几里得的另一本已经失传的书，名叫《已知数》（Da ta），它的目标读者似乎是那些已经看过《原本》，并且能够应用其中理论解决新问题的人。《已知数》是分析实践指导书籍，书中并没有或者说几乎没有什么聪明学生无法从《原本》中学到的内容，因此对科学的贡献不大。以下是其他一些通常认为是欧几里得所写的基本完整的著作：《现象》（Phenomena），其中讨论了球面几何和天文学；《光学》（Optics），其中假设称，光线由眼睛而非可见物体发出；《反射光学》（Catoptrica），其中包含关于镜面反射的命题；《论图形分割》（De Divisionbus），其中讨论了按给定比例划分平面图形；《卡农分割》（Sectio Canonis），其中研究了音程。他的著作《衍论》（Porisms）已失传，但是罗伯特·西姆森和夏斯莱（Chasles）从帕普斯著作中发现的众多笔记中复原了其中的很多内容。术语“衍论”含义模糊。根据普罗克鲁斯的观点，衍论的目的不是陈述某些属性或真理（如定理），也不是为了实现构造（如问题），而是寻找并观察具有给定数字或给定结构的事物。例如，找到给定圆的中心，或找到两个给定数字的最大公约数。根据查尔斯的观点，衍论是不完整的定理，“表示事物间的某些关系根据一般规律是可变的”。欧几里得的其他失传作品还包括《纠错集》（Fallacies），其中包含检测谬误的练习；《圆锥曲线》（Conic Sections）共4卷，是阿波罗尼奥斯在同一主题上开展工作的基础；还有《曲面轨迹》（Loci on a Surface，其标题的含义尚不清楚），海伯格（Heiberg）认为它的意思是“曲面的轨迹”。

在欧几里得之后，继承了他在亚历山大数学学院职位的人可能是柯农（Conon）、多希修斯（Dositheus）和宙西普斯（Zeuxippus），但我们对他们知之甚少。

古代最伟大的数学家阿基米德（Archimedes）生于叙拉古（Syracuse）。普鲁塔克称，他是希伦（Hieron）国王的亲戚，但是西塞罗（Cicero）的说法更加可靠，他告诉我们阿基米德出身卑贱，狄奥多罗斯（Diodorus）说他去过埃及。阿基米德是柯农和埃拉托塞尼的好朋友，所以他很有可能确实去过亚历山大。而且他对此前的数学研究有极为全面的了解，所以我们更有理由相信这一点。然而，后来他回到了叙拉古，在那里他运用非凡的才华建造了各种战争机器，帮助了他的仰慕者和保护人希伦国王。在此期间，他在马塞勒斯（Marcellus）围攻叙拉古时使罗马人损失很大。据说，当罗马军舰驶入城墙上的弓箭射程内时，他用镜子反射太阳光线，焚烧了罗马人的船只。这个故事很可能是虚构的，罗马人最终还是占领了这座城市，在随后的无差别屠杀中，阿基米德被杀害。传说，他当时正在研究画在沙子中的图形。当一名罗马士兵赶来时，他大声叫道：“不要破坏我的圆。”那个士兵感觉受到了侮辱，冲上去杀死了他。我们无法因此怪罪当时领兵的罗马将军马塞勒斯，他钦佩阿基米德的才华，树起了一块墓碑纪念他，墓碑上刻着“圆柱容球”图形。后来西塞罗在叙拉古时，发现阿基米德的坟墓掩埋在了垃圾下。

阿基米德主要因为他的机械发明成就而受到同胞的钦佩，但是他本人对纯粹的科学研究更加重视。他宣称：“与日常需求有关的每一种艺术都是愚昧无知的。”他的一些作品已失传，以下是大致按时间顺序排列的现存书籍：《平面图形的平衡或其重心》两卷，其间穿插了他关于《抛物线求积》的论著；《方法论》（The Method）；《球体和圆柱体》两卷；《圆的度量》；《螺线论》（On Spirals）；《劈锥曲面体和椭球体》两卷；《数沙器》（Sand-Counter）；《浮体》（Floating Bodies）两卷；《引理集》（Fifteen Lemmas）。

在《圆的度量》一书中，阿基米德首先证明了圆的面积等于以该圆周长为底、半径为高的直角三角形的面积。其中，他假设存在一条与圆周长相等的线。一些古代学者反对这一假设，依据是并不一定可以找到与所作曲线相等的线。无论如何，阿基米德接下来的任务是找到这样一条线。他首先找到周长与直径之比的上限或者说圆周率。为此，他从等边三角形出发，以等边三角形的底为切线、顶点为圆心，依次将中心对角平分，比较比率，并且无理平方根总是取过小的值。最终，他得出的结论。接下来，他通过在圆内内接6、12、24、48和96个边的正多边形，求出了每个多边形的周长（这些多边形的周长总是小于圆周），从而确定了π的下限。最后，他得出结论：“圆的周长超出其直径长度3倍还要多，多出的这一部分小于直径的，但大于直径的。这一估值对于大多数研究来说足够精确。

《抛物线求积》中针对抛物线求积问题给出了两种解法：一种是机械解法，另一种是几何解法。两种方法都使用了穷竭法。

值得注意的是，也许是受到了芝诺的影响，阿基米德在严格证明中并未使用无穷小（无穷小常数）。实际上，这个时期的大几何学家像欧多克索斯、欧几里得和阿基米德采用了一种激进的做法。他们接受了一条公设，从而将无穷小从几何证明中排除。《抛物线求积》的序言中包含所谓的“阿基米德假设”：“现有两个大小不相等的空间，较小空间不断加上两者之差，在加了足够多次数后，可能就会超出所有有限空间的大小。”阿基米德称，这一假设最初是欧多克索斯提出的。欧几里得以定义的形式给出了以下假设：“若一个量的几倍大于另一个量，这两个量彼此之间有一个比。”尽管如此，无穷小可能已被试用于数学研究。在阿基米德的《方法论》一书中明显如此。《方法论》此前曾一度被认为永久失传，但幸运的是，海伯格于1906年在君士坦丁堡发现了此书。书中内容表明，阿基米德认为无穷小足够科学，可以用于推出定理，但不能用于严格证明。在求抛物线图形面积、球台体积和其他旋转几何体时，他使用了机械解法，也考虑无穷小元素，他称其为直线或平面，但实际上是无限窄的线或无限薄的平面。无论在任何条件下考虑这些几何元素，其宽度或厚度均视为相同。在现代算术连续统创立之前，阿基米德假设没有引起数学家的兴趣。斯托尔茨（Stolz）表明，这是戴德金关于“截面”的假设的结果。

看来在阿基米德的伟大研究中，他的研究模式从力学（表面和几何体的重心）开始，并通过他的无穷小力学方法发现新结果，之后他再进行推论并发表严格的证明，这就表明阿基米德知道积分。

阿基米德也研究了椭圆并实现了化圆为方，但是对于双曲线，他似乎没有给予太多关注。据信，他写了一本关于圆锥曲线的书。

在阿基米德的所有发现中，他对自己在《球体和圆柱体》中的发现给予了最高评价。在书中，他证明的新定理包括：球面面积等于大圆面积的4倍；一个球缺的面积等于一个圆，该圆的半径是球缺顶点与其基圆的圆周上点的连线；球体体积和表面积分别是外接球体的圆柱体的体积和表面积的。阿基米德希望在自己的墓碑上刻上第三个定理的证明图形，而马塞勒斯完成了他的愿望。

现在被称为“阿基米德螺线”的螺线在《螺线论》一书中也有所描述，同样是阿基米德的发现，而不是有些人所认为的是他的朋友柯农的发现。他在螺线问题上的论述也许是他最精彩的研究。今天，人们通过使用无穷小微积分，此类问题可以轻松解决。但古人使用的是穷竭法。其实，比起他对这种方法的精通，他的天分更为突出。在欧几里得和他的前辈们看来，穷竭法只是证明命题的手段，而这些命题必须在证明之前就已经能够看出或者是公认的观念。但是在阿基米德手中，这种方法或许与他无穷小的机械方法相结合，成为了他发现新知识的工具。

在《劈锥曲面体和椭球体》一书中，他用“劈锥曲面体”一词指抛物线或双曲线绕其轴旋转产生的几何体。“椭球体”由椭圆的旋转产生，并且随着椭圆围绕长轴或短轴旋转而变长或扁。这本书还提出了求这些几何体体积的方法。阿基米德和阿波罗尼奥斯通过“插入”法构造了一些几何图形。阿拉伯人认为阿基米德绘制出了如图1-6所示的角三等分示意图。“插入”法需借助刻度尺实现。要三等分角CAB，则要先绘制弧BCD。然后“插入”距离FE等于AB，在穿过C的边上标记并移动EFC直到点E和F位置如图所示。所求角度为EFD。

他的算术论文和其他相关研究将在之后讨论。我们现在将注意力放在他的力学著作上。阿基米德是第一个在该领域得出了可靠发现的学者。阿契塔、亚里士多德和其他人试图将已知的力学真理发展成一门科学，但是未能成功。亚里士多德了解杠杆的性质，但无法建立起真正的数学理论。胡威立（Whewell）认为，古希腊推理有一个致命的根本性问题，“尽管他们掌握了重要知识，产生了重要思想，但他们的思想并没有与时俱进。”例如，亚里士多德断言，当杠杆末端的物体移动时，可被视为进行两种运动：一种在切线方向上，一种在半径方向上。他说，前者符合事物的自然状态，后者则与之相悖。这些“自然的”和“非自然的”运动的不当概念，加上决定这些推测的思维习惯，使得他们不可能理解力学属性的真实背景。甚至在阿基米德踏上正确的道路后，力学研究竟然陷入了停滞，直到将近2000年后伽利略的出现。不能不说，这让人有些诧异。

直到今天，许多教科书仍然收录了他在《平面图形的平衡》中给出的杠杆性质的证明。马赫（Mach）对这一证明提出了批评：“仅基于等距离上相等重量的平衡的假设就得出了重量和杠杆臂的反比例关系！怎么能这样？”阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球。”他对杠杆效率的估计由此可见一斑。

《平面图形的平衡》专注于几何体或几何体平衡的研究，《浮体》一书则讨论体静力学。当希伦国王要求他测试制造商声称是纯金的皇冠是否掺有银时，他开始对比重这个问题产生兴趣。传说，当真正的解决方法在他的脑海中闪现时，这位大哲学家正在洗澡，但是他立即裸奔回家，大喊道： “我想到了！”为了解决这个问题，他拿了一块金子和一块银子，重量均与王冠相同。根据一位学者的记录，他测定了分别由金子、银子和王冠置换的水的体积，并根据该体积算出了王冠中的金和银的含量。另一位学者则称，他在浸入水中的同时分别称量了金子、银子和王冠，从而确定了它们在水中的重量损失。从这些数据中，他很容易找到解法，他也有可能同时采用了这两种方法解决了该问题。

了解了阿基米德的著作之后，我们现在应该很容易理解，为什么在古代，“阿基米德问题”代表普通人无法解决的问题，“阿基米德证明”是“无可置疑的确定性”的代名词。阿基米德涉猎广泛，并且在每个问题上都展示出了深刻的见解。可以说，他是上古的“牛顿”。

埃拉托塞尼（Eratosthenes）是吉莱恩（Gyrene）人，比阿基米德小11岁。他生于亚历山大，长大后跟随诗人卡里马丘斯（Callimachus）学习之后，成了亚历山大图书馆的馆长。从他的作品中，可以看出他的兴趣广泛。他的作品包括《善与恶》（Good and Evil）、《测量地球》、《喜剧》（Comedy）、《地理学》（Geography）、《年代学》（Chronology）、《星座》（Constellations）和《倍立方》。他还是一位语言学学者和诗人。他测量了黄道的倾角，并发现了一种用于查找质数的方法，稍后我们将对其进行介绍。在他的几何著作中，目前仅存他写给托勒密三世（Ptolemy Euergetes）的一封信，其中介绍了倍立方问题的研究史，并描述了他自己巧妙的机械解法。年老的时候，他双目失明，据说他因此最后选择了绝食自杀。

阿基米德死后大约40年，佩尔盖的阿波罗尼奥斯（Apollonius）开始崭露头角，他的天分几乎与前辈不相上下。在古代数学家中，他无可争议地位居第二。阿波罗尼奥斯出生于托勒密三世统治期间，卒于托勒密四世（Ptolemy Philopator）统治时期。托勒密四世统治时间从公元前222年到公元前205年。他曾在亚历山大跟随欧几里得的接班人学习，并且也在帕加马王国（Pergamum）学习了一段时间，在那里，他结识了欧德莫斯。之后，他把《圆锥曲线》的前3卷献给了欧德莫斯。他的工作成就斐然，并因此获得了“伟大的几何学家”的称号。关于他的人生，我们只知道这么多。

他的《圆锥曲线》共8卷，其中前4卷流传下来的是原始希腊语版本。直到17世纪中叶，发现了译于约1250年的阿拉伯语译本，直到此时欧洲才了解到此书还有后3卷。目前，第八卷尚未找到。1710年，牛津大学的哈雷（Halley）出版了前4卷的希腊语版本以及后3卷的拉丁语版本，并根据帕普斯的引理，对第八卷进行了推测性修复。前4卷只包含早期几何学家的最重要的研究。欧托奥基斯告诉我们，赫拉克利德斯（Heraclides）指责阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》抄袭了这位伟大的数学家的未公开发现。很难相信这一指控有足够的依据。欧托奥基斯引用吉米诺斯（Geminus）的回应称，阿基米德和阿波罗尼奥斯都没有声称自己发现了圆锥曲线，但是阿波罗尼奥斯提出了真正的改进建议。前3卷或前4卷是基于梅纳希姆斯、阿里斯泰俄斯（Aristæus）、欧几里得和阿基米德的研究成果，而其余部分几乎完全是新发现。前3卷定期送至欧德莫斯阅读，其余各卷（在欧德莫斯死后）则寄给了一位名为阿塔鲁斯（Attalus）的人。第二卷的前言很有趣，它展示了此时古希腊的书籍“出版”模式。前言内容如下：“我已安排我儿子阿波罗尼奥斯把《圆锥曲线》第二卷带给你（欧德莫斯）。请仔细阅读并与其他值得分享的人交流。如果我上次在以弗所给你介绍的那位几何学家菲洛尼德斯也在帕加马附近，请也让他过目。”阿波罗尼奥斯在其序言中谈到了第一卷：“比起其他作者的著作，它更完整，更全面地包含了产生这三种圆锥曲线和共轭双曲线的方式及其主要特征。”我们记得，梅纳希姆斯和他的所有的继承者，直到阿波罗尼奥斯，都只在垂直于圆锥的侧面的平面上生成圆锥曲线，而三种圆锥曲线是从不同的圆锥中得到的。但阿波罗尼奥斯迈出了重要一步。他用垂直于或不垂直于同一个圆锥（直圆锥或斜圆锥均可）侧面的截面生成了所有类型圆锥曲线。这样一来，三种曲线的旧名称也不再合适。于是，阿波罗尼奥斯没有将这三种曲线称为“锐角”“直角”和“钝角”圆锥曲线，而是分别将其称为椭圆、抛物线和双曲线。事实上，我们在阿基米德的著作中也发现了“抛物线和椭圆”这两个词，但它们可能只是后世的补充。之所以使用“椭圆”一词，是因为y2＜px，其中p是参数，引入“抛物线”一词是因为y2=px，引入术语“双曲线”则是因为y2＞px。

阿波罗尼奥斯的论证基于圆锥曲线的独特属性，直接发现这些圆锥曲线的圆锥体的性质。夏斯莱曾介绍过这种属性如何成为古代数学体系的关键。他说：“设想存在一斜圆锥，其底面为圆，过其顶点及底面圆心的直线为该圆锥体的轴，一个穿过该轴的平面垂直于底面，与圆锥体交于两条直线，并过底圆直径；以直径为底，两条线为其余两边的三角形称为过轴三角形：在构造圆锥曲线的过程中，阿波罗尼奥斯假定，有一平面垂直于过轴三角形所在的平面，该平面与三角形两边的交点是曲线的顶点；连接这两个点的线段是它的一个直径。阿波罗尼奥斯称这个直径为“横截线”（latus transversum）。在曲线的两个顶点之一上，作一条一定长度的垂线（latus rectum）垂直于过轴三角形所在平面，后面我们会具体介绍如何确定该垂线的长度。从该垂线的末端作一条直线连接曲线另一个顶点。现在，通过曲线直径任意一点绘制一条垂线：包含于直径和曲线之间的该垂线构造的正方形的面积等于直径和上述所作直线之间的垂线部分以及未作垂线的顶点和所作第二条垂线的垂足之间的直径部分所构造的矩形的面积，这就是阿波罗尼奥斯认识到的圆锥曲线的特别属性。并且，他通过巧妙的变换和演绎推理推导出了圆锥曲线的其余特征。正如我们将看到的那样，阿波罗尼奥斯认识到的这一属性在他的手中所起到的作用和笛卡尔解析几何系统中的两个变量（横坐标和纵坐标）的二次方程的作用几乎相同。阿波罗尼奥斯和此前的梅纳西姆斯一样使用了坐标，夏斯莱继续说道：“由此可见，根据曲线的直径和在曲线一顶点所作的垂线足以构造出曲线。这是古代人用来建立圆锥曲线理论的两个基础，这个问题中的垂线被称作‘latus erectum'；现代人首先将此名称改为‘latus rectum'，后来又改称为参数。”

阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》的第一卷几乎完全围绕于三种主要圆锥曲线的产生。第二卷主要研究渐近线、轴和直径。第三卷讨论了三角形、矩形或正方形的全等或成比例，具体研究了截线、弦和渐近线或切线等具体问题的决定性因素，而这些因素经常受多种条件的影响。这一卷也涉及了椭圆和双曲线的焦点问题。

在第四卷中，阿波罗尼奥斯讨论了线的调和分割。他还研究了由两个圆锥曲线组成的系统，并表明它们之间的交点不能超过四个。他研究了两个圆锥曲线的各种可能的相对位置，例如，当它们相互具有一个或两个接触点时。

第五卷最充分地展示了作者的才智，在早期数学著作中，我们几乎找不到研究棘手的最大值和最小值的问题的例子，但这一问题在这一卷得到极为充分的讨论。该卷的主题是找到从定点到圆锥曲线的最长和最短的线。这一卷还讨论了渐屈线和密切中心。

第六卷讨论了圆锥曲线的相似性，第七卷讨论了共轭直径，哈雷修复的第八卷继续讨论了共轭直径。

值得注意的是，阿波罗尼奥斯没有引入圆锥曲线准线的概念，尽管他偶然发现了椭圆和双曲线的焦点，但他并未发现抛物线的焦点。他的几何学研究还有一个引人注目的特点：缺少术语和符号，他的证明过程因此冗长而烦琐。阿基巴尔德（Archibald）声称阿波罗尼奥斯熟悉圆的相似中心，但通常认为是蒙日（Monge）发现了这一点。黑斯这样评论：“阿波罗尼奥斯以及早期几何学家所使用的主要理论都被归于几何代数之列，不过这么称呼这一领域也不能说不合适。”

夏斯莱说，阿基米德和阿波罗尼奥斯的发现标志着古代几何最辉煌的时代。历史上，各个时代的几何学家普遍关注两个问题，这两个问题可能起源于这两位学者。第一个是曲线图形求积，这一问题的解决催生了无穷小微积分。第二个是圆锥曲线理论，它是任意次数曲线理论的前奏，是仅考虑图形形式和情况并且仅使用线和面的交点以及直角距离比率的几何学的前奏。可以用“测量几何学”和“形式几何学”或“阿基米德几何学”和“阿波罗尼奥斯几何学”分别来命名这两大几何分支。

除了《圆锥曲线》，帕普斯还将以下著作归到阿波罗尼奥斯名下：《论接触》（On Contacts）、《平面轨迹》（Plane Loci）、《倾斜》（Inclinations）、《截取面积等于已知面积》（Section of an Area）、《论确定的截点（或截线、截面）》（Determinate Section），并给出了引理，试图从这些引理中恢复失传的原稿。另有阿拉伯语版本的《截取线段成定比》（De Sectione Rations）。由韦达（Vieta）修复的《论接触》一书包含了所谓的“阿波罗尼奥斯问题”：平面上给定三个圆，构造出和这三个已知圆都相切的圆。

在未引入比旧的穷竭法更通用、更强大的方法前，欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯将几何学带到了当时的条件所能达到的最高境界。之后的几何学发展需要更简洁的符号体系，笛卡尔几何和无穷小微积分。古希腊思想不适合发现一般性方法。因此之后的古希腊几何学不仅没有达到更高的高度，反而陷入了停滞，他们开始四处搜寻此前进展飞速的研究中被忽略的细节问题。

尼科梅德斯（Nicomedes）是阿波罗尼奥斯研究最早的继承人。关于他的人生，我们只知道他发现了“蚌线”（形似贻贝），一种四阶曲线。此外，他设计了一种小型机器，借助这一机器可以轻易描述曲线。借助蚌线，他解决了倍立方问题。该曲线也可以以类似于阿基米德第八引理的方式用于三等分。普罗克鲁斯将这种三分法算作尼科梅德斯的研究成果，但帕普斯也声称这是他的研究成果。牛顿用蚌线构建三次曲线。

大约在尼科梅德斯同时代（例如公元前180年），蔓叶类曲线（因似“常春藤状”得名）的发现者迪奥克利兹（Diocles）也非常活跃。他用蔓叶类曲线寻找两条给定线段之间的两个比例中项。古希腊人实际上并没有考虑到蔓叶类曲线的伴随曲线，他们只考虑了位于构造曲线所用的圆内的固有蔓叶类曲线。当除去曲线分支的凹面的两个圆形区域时，剩下的圆形区域部分看起来有点像常春藤叶。这很可能就是蔓叶类曲线名字的由来。似乎是罗伯瓦尔（Roberal）于1640年首次发现的，该曲线的两个分支会延伸到无穷大，之后斯劳斯（Sluse）也注意到了这一点。

我们对珀尔修斯（Perseus）的了解像对尼科梅德斯和迪奥克利兹的了解一样少，只知道他生活于公元前200年至公元前100年之间。从海伦（Heron）和吉米诺斯（Geminus）口中，我们了解到，他曾写过一篇文章讨论螺旋。根据海伦的描述，这是由圆围绕一条弦旋转产生的环面。该曲面的截面会产生特殊的曲线，称为螺旋曲线。吉米诺斯认为这是珀尔修斯的发现。这些曲线似乎与欧多克索斯的套马索线一样。

海普西克利斯（Hypsicles，前200年—前100年）应该是《原本》的第十四卷和第十五卷的作者，但是近些年来，有研究者认为第十五卷由公元后几个世纪的学者所写。第十四卷包含7个关于规则几何体的优雅定理。海普西克利斯写作的一部著作名叫《星星的升起》（Risings of Stars），内容很有趣。这本书按照古巴比伦的方式将圆周分为360度。

古代最伟大的天文学家希帕克（Hipparchus）是比提尼亚（Bithynia）的尼西亚（Nicaea）人，生活于公元前161年至公元前127年之间，他进行了天文观测活动。他归纳建立了著名的本轮和偏心轮理论。不出意外，他对数学很感兴趣，不过这种兴趣并非对数学本身，而是为了进行天文学研究。他的所有数学著作都已失传，但希恩告诉我们，三角学研究始于希帕克。他在12卷书中计算了“弦表”。此类计算要求必须对算术和代数运算有充分了解。他拥有用于解决平面和球面几何问题的数学和图形工具。他的研究表明，他已经掌握了我们在阿波罗尼奥斯著作中发现的坐标表示思想。

公元前100年左右，特西比乌斯（Ctesibius）的学生老海伦非常活跃。特西比乌斯以巧妙的机械发明而闻名，包括水力风琴、水钟和弹射器。有人认为，老海伦是特西比乌斯的儿子。他展现出了与老师相媲美的才华，发明了汽转球和一种名为“海伦的喷泉”的奇特装置。关于他的著作尚有很多问题待确定，大多数专家认为，他是《屈光学》这一重要的文章的作者，该文章有3份完全不同的手抄副本。但是玛利（Marie）认为，《屈光学》是生活于七八世纪的小海伦的作品。据说，老海伦还写了一本《大地测量学》（Geodesy），但是这本书只是复制了《屈光学》的内容，且存在很多缺陷。《屈光学》中包含一条重要公式，即用三角形三边长求出三角形面积的公式。推导过程相当艰难，但思路却非常巧妙。夏斯莱曾说：“难以置信，这么美丽的定理竟然出现在老海伦这样古老的数学家的作品中，而其他古希腊几何学家竟然没有想到引用。”玛利认为古代学者的这种态度说明了重要问题，他据此辩称，真正的发现者必定是小海伦或比老海伦更晚一些的学者。但是没有可靠证据表明，当时确实存在两位名叫海伦的数学家。坦纳已证明，在应用此公式时，海伦发现无理根的近似值，。a2是最接近A的平方值。为了取得更精确的值，海伦将上述公式中的a取为。很明显，海伦有时候会用双假位法求平方根和立方根。

文丘里说：“屈光仪”是与现代经纬仪非常相似的工具。《屈光学》一书借助这些仪器研究大地测量，其中对大量几何学问题进行了解答，例如，在只能到达一点的情况下测出两点间的距离，或者在两点都可见但无法到达的情况下测出两点间的距离；过一点作一条无法到达的直线的垂线；找出两点间的水平差；在不进入的情况下测量区域面积。

海伦非常重视研究应用，这也许可以解释为什么他的著作与其他古希腊学者的著作相似之处甚少，后者认为测量工作将科学拉低到应用几何的水平。他的几何学研究不像古希腊的流派，倒像是毫无疑问的古埃及流派。更让人惊讶的是，海伦曾评论过《原本》，以证明他对欧几里得的研究非常熟悉。海伦的一些公式起源于埃及。除了上述用三角形边长求三角形面积的精确公式，海伦还给出了公式，这和伊德夫碑文中四边形的面积公式惊人相似。此外，海伦的作品和古老的阿默士纸草书之间还有其他相似之处。不过，阿默士仅使用单位分数，而海伦使用单位分数比其他分数更频繁一些。像阿默士和伊德夫的祭司一样，海伦通过画辅助线将复杂的图形简化。此外，他也像他们一样偏爱等腰梯形。

海伦的发现能够解决生活实际问题，因此被其他民族广泛学习。在罗马、中世纪的西方，甚至印度，都发现了他的研究成果的踪迹。

一些被归到海伦名下的作品，包括新发现的1903年出版的《度量论》（Metrica），均由海伯格（Heiberg）、舍内（Schone）和施密特（Schmidt）修订。

吉米诺斯（Geminus）发表了一部天文学著作，但现已失传。他还写作了《数学研究整理》（Arrangement of Mathematics），其中包含许多关于古希腊数学早期历史的宝贵注解，同样已失传。普罗克鲁斯和欧托奥基斯经常引用其中内容。西奥多修斯（Theodosius）是一本关于球面几何的小书的作者。坦纳和比恩博（Björnbo）的研究表明，数学家西奥多修斯并非先前以为的特里波利斯（Tripolis）的西奥多修斯，而是比提尼亚的居民和希帕克的同代人。本都（Pontus）阿米苏斯（Amisus）的数学家狄俄尼索多罗（Dionysodorus）应用抛物线和双曲线的相交，解决了阿基米德在其《球体和圆柱体》中未完全解决的问题，即“切割一个球体，使各部分符合给定比例”。

现在，我们已经勾勒出了公元前几何学的进展。遗憾的是，从阿波罗尼奥斯时代到公元元年的几何历史，我们知之甚少。我们提到了许多几何学家的名字，但是他们的作品极少流传至今。可以肯定的是，在阿波罗尼奥斯和托勒密之间，没有真正的天才数学家。当然，希帕克是例外，也许还有海伦。

亚历山大第二学派

从亚历山大的建造者托勒密一世开始，拉吉德王朝统治了埃及300年。埃及被罗马帝国吞并后，东西方之间的商贸关系更加密切。异教的逐渐衰落和基督教的传播对科学的发展产生了深远影响，亚历山大成为了学术研究的大本营。亚历山大也是当时的商业和文化中心。各个国家的商人奔忙于亚历山大繁华的街道上，东西方学者在宏伟的图书馆、博物馆和演讲厅高谈阔论。希腊人开始研究早期希腊文学并将其与当代文学进行比较。通过这种思想交流，希腊哲学与东方哲学逐渐相融合。新毕达哥拉斯学派和新柏拉图学派（Neo-Platonists）调整了原有学术体系，这些学术流派曾一度反对基督教。对柏拉图主义和毕达哥拉斯神秘主义的研究复兴了数论。分散四方的犹太人对希腊学术的传播也许在其中起到了助推作用，数论成为最受欢迎的研究领域。在这一新的数学研究分支上出现了一个新数学流派。毫无疑问，即使在此时，几何学仍然是亚历山大最重要的学术研究领域之一。据说，亚历山大第二学派始于公元初，其中的代表人物有克劳迪乌斯·托勒密、丢番图、帕普斯、希恩、杨布里柯和波菲利乌斯（Porphyrius）等。

此外，也许可以再加上塞莱纳斯（Serenus）的名字，他或多或少都与这一新学派有些关系。塞莱纳斯写了两本圆锥体和圆柱体的截面的书，其中一本书只讨论了过圆锥顶点的三角形截面。他解决了以下问题：“给定一个圆锥体（圆柱体），找到一个圆柱体（圆锥体），以使两者在同一平面上的截面是相似的椭圆。”以下定理是现代谐波理论的基础，也很有趣。如图1-7所示，如果过D作DF，分割三角形ABC，然后选择上面的H，则DE：DF=EH：HF，如果作线AH，则每个通过D的截线（例如DG）都将被AH分割，那么DK：DG=KJ：JG。亚历山大的梅涅劳斯（约98年）是《球面几何》（Sphœrica）的作者，该书流传下来的版本有希伯来语和阿拉伯语版本，但没有希腊语版本。书中，他证明了球面三角全等定理，并用与欧几里得处理平面三角形几乎相同的方式描述了它们的性质。书中还揭示了定理：球面三角形三条边边长的总和小于大圆周长，并且三个角度的总和超过两个直角。他的平面三角形和球面三角形的两个定理也非常有名，平面三角形上的定理是：“如果三边被一条直线切开，那么没有共同端点的三线段的乘积等于其他三线段的乘积。”拉扎尔·卡尔诺提出了这一命题，即“梅涅劳斯引理”，这是他的截线理论的基础。球面三角形的相应定理也就是所谓的六量法则（regula sex quantitatum），则是用“三线段弦的两倍”代替了上述定理中的“三线段”。

克劳迪乌斯·托勒密（Claudius Ptolemy）是埃及著名的天文学家。139年，他在亚历山大非常活跃。125年，他在作品中记录了最早的天文观测资料。除此之外，我们对他的人生一无所知，他最晚的一份观测记录时间是在151年。他的主要著作有《天文学大成》（Syntaxis Mathematica，阿拉伯人称之为Almagest）和《地理学》（Geographica），目前都已失传。他以前的工作部分基于自己的研究，但主要是基于希帕克的研究。托勒密似乎不是一个独立的研究者，他的主要贡献是纠正和改进了前代学者的工作。其中，他的《天文学大成》一书是哥白尼以前所有天文学研究的基础。“托勒密体系”的基本理念是，地球位于宇宙的中心，太阳和行星都绕地球旋转。托勒密的研究对数学发展也相当重要。为了研究天文学问题，他建立了形式完美的三角学理论体系。不过三角学理论的基础是杰出的数学家希帕克奠定的。

《天文学大成》共13卷，第一卷第9章介绍了如何计算弦表。圆分为360度，每一度再对半划分。直径分为120份，每份再分为60份，之后再细分为60个较小的部分。在拉丁语中，这些部分被称为“partes minutoe primoe”和“partes minutoe secundoe”，即“分”和“秒”。划分圆的六十进制法起源于古巴比伦，吉米诺斯和希帕克都了解这一方法，但是托勒密的弦计算方法似乎是他的原创。他首先证明了现在被附加到《原本》第六卷（定义）的一个命题，即“圆内接四边形的对角线所包矩形面积等于一组对边所包矩形面积”。然后，他展示了如何从两个弧的弦中找到它们之和与差的弦，以及从任何弧的弦中求出一半的和。这些定理适用于他的和弦表的计算。这些定理的证明非常漂亮。克拉维乌斯（Clavius）和马斯切罗尼（Mascheroni）后来提出了托勒密构造规则内接五边形和十边形的边的方法，现在被工程师大量使用。如图1-8所示，设半径BD垂直于AC, DE=EC。使EF=EB，则BF是五边形的边，而DF是十边形的边。

《天文学大成》第一卷的另一章专门讨论了三角学，尤其是球面三角学。托勒密证明了“梅涅劳斯引理”，并提出了“六量法则”。基于这些命题，他建立了他的三角学理论体系。在三角计算中，希腊人不像印度人那样使用两倍弧度的弦的一半（“正弦”）。希腊人改为使用两倍弧度的整个弦。稍后，我们将会介绍，托勒密和前代学者只在构造图形时使用两倍弧的弦的一半。托勒密并未明确指出平面三角学的基本定理，即三角形的边长之比为对角正弦之比，但这条定理隐含在他的其他定理中。他的球面三角学体系中的命题则更为完整。

这些三角学研究并非为了学科本身的发展，而是为了辅助天文学研究，这解释了一个令人吃惊的事实：球面三角学的研究比平面三角学起步更早。

《天文学大成》其余各卷是天文学部分。托勒密还写了一部关于几何学的著作，以及其他几本与数学几乎没有关系的著作。普罗克鲁斯对这本书的摘录表明，托勒密没有将欧几里得的平行公理视为理所当然，从古代到现代，托勒密是第一个不辞辛苦试图证明这一点的几何学家，当然，他的努力是徒劳的。他的论证中站不住脚的部分是他的断言：在平行的情况下，截线一侧的内角之和必然与截线另一侧的内角之和相同。在托勒密之前，波西多纽斯（Posidonius）曾试图改进平行理论，他将平行线定义为共面且等距的线。从阿拉伯学者内雷奇（Al-Nirizi, 19世纪）的记录看，辛普利修斯受朋友阿加尼斯（Aganis，一说为吉米诺斯）影响基于此定义给出了第五公设的证明。

在绘制地球表面和天体时，托勒密学习希帕克使用了立体射影方法。他想象眼睛位于两极之一，射影投射在赤道平面上。他设计了一种仪器，一种星盘状的平面天球图，是对天体的立体射影。托勒密写了一篇关于地球仪“8字曲线”的专著，这是一个涉及天球在三个相互垂直的平面（水平面、子午圈和地平经圈）的正射射影。地球仪8字曲线被用于确定太阳的位置和星星的起落。希帕克和其他老一辈天文学家很可能也了解这一方法。它提供了一种解决球面三角学的图形方法，后来在17世纪后期被印度人、阿拉伯人和欧洲人使用。

当时有两位杰出的数学家：尼科马霍斯（Nicomachus）和希恩，数论是他们最钟爱的研究。这一领域的研究之后，随着丢番图的代数研究，掀起了一阵高潮。但是在托勒密之后150年间，没有再出现重要的几何学家。这段时期曾出现过一位几何学家，名叫赛克图斯·朱利乌斯·阿菲利加努斯，他写了一篇关于军事技术的几何学著作，为《塞斯特斯》（Cestes），不是非常重要。另有一位怀疑论者恩披里克，历经波折试图通过阐述另一个类似悖论，解释芝诺的“飞矢不动”。当然，他远未解决这一问题。他提出的悖论是：人永远不会死。因为在任一时间，他要么还活着，要么已经死了。因此，他永远不会死去。恩披里克还提出了另一个悖论，即当一条线段绕其一端在平面上旋转时，形成了由其每个点所构成的圆，这些同心圆的面积不相等，但每个圆的面积必须等于相邻圆的面积。

数学家帕普斯（Pappus）大约生于340年的亚历山大。身为亚历山大学派最后一位伟大的数学家，他的才华不亚于阿基米德、阿波罗尼奥斯和欧几里得，这些数学家活跃于500年前。虽然当时的数学家对几何学的兴趣日益降低，主要研究几何学的帕普斯却在同辈数学家中出类拔萃，用一种说法形容就是“如同特内里费（Teneriffa）峰耸立于在大西洋之上”。他的著作有《<天文学大成>注》（Commentary on the Almagest）、《欧几里得<原本>注》（Commentary on Euclid's Elements）、《狄奥多罗斯日行迹注》（Commentary on the Analem-ma of Diodorus），这些作品都已失传。普罗克鲁斯称，帕普斯不认为等于直角的角度本身总是直角。他可能引用了《欧几里得<原本>注》中的话。

帕普斯唯一现存的著作是他的《数学汇编》（Mathematical Collections）。此书本包含8卷，但目前第一卷、第二卷缺失。《数学汇编》似乎由帕普斯编写，他在其中简要分析了当时内容最艰深的一些数学著作，并借助解释性引理辅助研究。但是这些引理选择得非常随意，并且经常与所讨论问题几乎没有任何关联。但是，他总结概括了他分析的数学著作，并且非常准确。《数学汇编》对我们来说是无价之宝。古希腊最重要的希腊数学家们的著述许多现已失传，而《数学汇编》提供了这些著述的丰富信息。19世纪，有数学家认为仅通过帕普斯就能恢复这些著述的内容。

首先，我们将列举《数学汇编》一些相对更重要的定理，这些定理应该是帕普斯的个人发现。书中的定理中最重要的一条是古尔丁（Guldin）在1000多年后重新发现的优雅定理，即由完全位于轴的一侧的平面曲线的旋转所产生的体积等于曲线面积乘以用其重心描述的周长。帕普斯还证明，若一三角形的顶点位于另一个三角形的各边，且三顶点以相同比率将三边分割，则两三角形重心相同。第四卷中包含了关于割圆曲线的精彩新命题，这些命题表明他对曲面非常熟悉。他用如下方法构造割圆曲线。在直圆柱上画一条螺旋线；然后，过螺旋线各点作圆柱轴的垂直线，垂直线形成螺旋面。过其中一条垂线并且与圆柱底面成任意角的平面与螺旋面交于一曲线，该曲线在圆柱底面的正射投影即为割圆曲线。第二种产生方式同样令人叹为观止：如果将阿基米德螺线作为直圆柱的底，并想象一个旋转圆锥，其轴为通过螺线的起始点的圆柱的边，则该圆锥与圆柱体相交于一个双曲面。过此曲线中各点所作的轴的垂线形成螺旋面，帕普斯在此将其称为蝶形曲面。以任意角度通过其中一条垂线的平面与该面交于一曲线，该曲线在阿基米德螺线所在平面的正射投影正是所求割圆曲线。帕普斯还进一步考虑了双曲率曲线，他假设球的大圆绕其直径均匀旋转，那么沿大圆圆周均匀地移动的点形成球形螺旋。就这样，他找到了由球形螺旋求球面部分面积的方法。“自阿基米德时代以来，数学家们就不知道如何求得球体表面积，至于求其中的部分面积，比如球面三角形，在当时以及之后很长一段时间内都是一个悬而未决的问题。所以，帕普斯的这一曲面求积法更令人敬仰。”笛卡尔和牛顿曾提出一个重要问题，即“帕普斯问题”。给定一个平面中的几条直线，找到一个点的轨迹，使当从该点到给定直线作垂线（或者扩大范围，作给定角度的交线）时，其中某些垂线的乘积应与其余垂线乘积成给定比例。值得注意的是，帕普斯首先发现了抛物线的焦点，并提出了点对合的理论。他使用了准线，并且是第一个将圆锥曲线明确定义为到定点和定线距离之比为定值的点的轨迹。他解决了这一问题：过位于同一直线上的三点，作三条直线形成一个定圆的内接三角形。从《数学汇编》中，我们可以找出许多同样困难的定理，这些定理都是帕普斯的个人发现。但是，应该指出，关于上述三个研究发现，均有人指责他引用了他人的定理而未指出；在其他地方，他可能也这么做过。不过，即使这些指控属实，我们也没有资料来确定真正的发现者到底是谁。

大约在帕普斯同时代，亚历山大的数学家希恩出版了一本带评注版《原本》，并且可能在课堂上将其作为教科书使用。他对《<天文学大成>评注》的注解包含了许多对过往数学研究的评论，非常宝贵，尤其是其中的希腊算术理论示例，更是异常重要。希恩的女儿希帕蒂亚（Hypatia）以美貌和谦逊而著称，她是亚历山大最后一位声誉卓著的大师。据说她是一位比她的父亲还要优秀的哲学家和数学家。她对丢番图和阿波罗尼奥斯著作的评注已经失传。415年，她不幸惨死。金斯利（Kingsley）的《希帕蒂亚》（Hypatia）详细地描述了当时的经过。

从此以后，亚历山大的数学研究停滞了，社会思想的主题成为基督教神学。异教的科学研究随着异教一起消失了。雅典的新柏拉图学派继续挣扎了一个多世纪。普罗克鲁斯、伊西多尔（Isidorus）和其他人延续了“柏拉图学派的传承金链”。叙利亚诺斯（Syrianus）之后，普罗克鲁斯成为柏拉图学派的领导人。他写了一本《原本》评论，但目前仅存第一卷的注解，其中包含的几何学历史信息具有重要价值。伊西多尔的学生大马士革乌斯现被认为是《几何原本》第十五卷的作者。伊西多尔的另一个学生是欧托奥基斯，他也对阿波罗尼奥斯和阿基米德的著作做了评注。辛普利修斯对亚里士多德·德·科洛（Aris-totle De Coelo）的著作做了评注。辛普利修斯在介绍芝诺的理论时称：“若一物被添加到另一物中不能使其变大，被从另一物中取走不能使其变小，则此物并不存在。”据此，否认无穷小的存在可以追溯到芝诺。几个世纪后，莱布尼茨再次遇到了这个问题，后者给出了不同的答案。辛普利修斯关于安蒂丰和希波克拉底对化圆为方问题的研究报告，是关于这一研究最好的历史信息源之一。529年，查士丁尼一世（Justinian）由于反对异教徒的研究，最后发布帝国法令关闭了雅典所有学院。

古希腊最后500年，几何学家普遍缺乏创造力，他们的著述中评注居多，原创成果较少。

古代几何的主要特征是：

（1）概念奇妙，含义清晰且确定，结论的逻辑严谨性几乎无可挑剔；

（2）完全缺乏一般性原理和方法。

古希腊几何学毫无疑问研究的都是非常特殊的问题，古希腊人并不具备求切线的一般方法。“求出三个圆锥曲线的切线，并不能够为绘制其他新曲线提供任何帮助，比如蚌线，蔓叶线等。”对于古老的几何学家来说，证明一个定理，线位于每一种位置的情况都需要单独证明。最伟大的几何学家也认为有必要彼此独立处理所有可能的情况，并给予同等充分的证明。古人无法设计出一种可以一次性处理各种情况的方法。“如果我们将一个数学问题比作一块巨大的岩石，并希望观察其内部，那么希腊数学家就像是一位健壮的石匠，他用坚定的毅力，用凿子和锤子将岩石一点点砸成碎片；当代数学家则像是一位出色的矿工，他首先在岩石上钻几个孔，然后通过一次大爆炸将其炸成碎片，从而发掘出其中的宝藏。”

古希腊算术及代数学

希腊数学家习惯于将算术理论（数论）和计算方法研究区分开来。他们将前者称为“arithmetica”（算术），将后者称为“logistica”（计算）。这样区分非常自然且恰当。它们之间的差异就像理论和实践的差别一样大。智者学派最喜欢研究计算。而柏拉图则对哲学算术研究给予了相当多的关注，并且公开声称计算方法是一门粗俗幼稚的研究。

在介绍古希腊算术史前，我们将首先简要介绍古希腊的计数方式和数字书写方式。像埃及人和东方国家的人民一样，希腊人最早用手指或鹅卵石计数。在数字较大的情况下，鹅卵石可能按平行的垂直线排列。第一列鹅卵石代表个位，第二列鹅卵石代表十位，第三列代表百位，依此类推。后来，他们开始使用框架，并用绳子或金属丝代替线。传说，毕达哥拉斯在去埃及旅行后（很可能也去过印度），首次将这种宝贵的工具引入希腊。这种工具叫“Abacus”，不同历史时期的不同民族都有使用，在不同的历史阶段完备程度也不同。中国曾经也使用过这一工具，把它叫“算盘”。目前没有希腊算盘的外观或用法的任何具体记录。波爱修斯（Boethius）说，毕达哥拉斯学派把算盘和称为“顶点”的9个符号配合使用，这9个符号类似于9个“阿拉伯数字”。但这种说法的准确性受到了严重怀疑。

最古老的希腊数字符号是所谓的“赫洛黛安妮克（Herodianic）数字”（以赫洛黛安妮克命名，此人是约公元200年的拜占庭语法学家，他对这套数字系统进行了描述）。这些符号经常出现在雅典的铭文中，因此，通常被称为雅典数字。由于某种不明原因，这些符号后来被字母数字所代替，其中包含古希腊字母以及三个奇特、古朴的字母ζ、、和符号Μ。显然，这种改动并不方便，因为旧的雅典数字包含的符号较少，更适合展示数字运算中的类比，而且记忆负担较小。下表是希腊字母数字及其各自的值：

可以注意到，字母在1000处开始循环，但为了防止混淆，在字母之前（通常在字母下方）加了一画。在数字上绘制水平线有助于轻易地将其与词汇区分开。M的系数有时会放在M之前或之后，而不是M之上。因此，43678写作。另外，可以看到，希腊字母数字中没有零。

分数的表示方法是：首先写出重音符号的分子，分母则带两个重音符号并写两次。所以，。当分数分子相同时，a′省略，分母仅写一次，所以，。

希腊人将比率命名为“埃比莫隆”（epimorion）。

阿契塔证明，如果“埃比莫隆”被约分为，那么ν=μ+1。这个定理在后来的欧几里得和波爱修斯的作品中都可以找到。欧几里得采用的算术形式，也许没有用线表示数字，在阿契塔时代就已经存在。

希腊学者很少使用字母数字进行计算。加法、减法，甚至乘法，可能都是在算盘上进行的。专业数学家可能使用过这些符号。因此，6世纪的评论家欧托奥基斯进行了许多乘法运算，以下是一个例子：

右边所附的现代数字符号充分解释了该运算。如果带分数，则运算过程将会更冗长。我们在希恩的《<天文学大成>注》中发现了在这一问题上的分歧。可以想到，这一过程可能漫长而乏味。

我们在几何学部分中已经看到，当时的顶尖数学家已经会提取平方根。因此，阿基米德在他的《圆的度量》中确定了许多平方根。例如，他指出且，但是他没有给出获得这些近似值的方法。早期古希腊数学家仅通过试验发现此平方根并非不可能。欧托基奥斯说，海伦、帕普斯、希恩和其他《天文学大成》注者给出了提取此平方根的方法。其中，我们只知道希恩的方法，此方法与我们今天使用的一种方法相同，除了使用了六十进制分数代替我们的十进制小数，该方法不使用六十进制分数时的模式是许多现代学者的热议话题。

在算术符号领域，阿基米德写了一本有趣的著作《数沙器》（Sand Counter，希腊语Arenarius），这是阿基米德写给叙拉古国王盖隆（Gelon）的一篇文章。阿基米德在文中指出，人们错认为沙粒无法计数，或者即使可以计数，也无法用算术符号表示。他表明，即使一定数量沙粒的体积同整个地球一样大，甚至和整个宇宙一样大，这个数量仍然可以用算术符号表示。假设10000粒沙与罂粟种子同等大小，且罂粟种子的直径不小于手指宽度的；之后进一步假设，宇宙的直径（假设直到太阳）小于地球直径的1万倍，而地球直径不小于1000000斯达地（stadia，古希腊长度单位“stadium”的复数）。阿基米德发现了一个超出宇宙范围的沙粒数量的数字。他进一步假设宇宙的范围扩大到固定恒星，他发现在以地球中心到固定恒星的距离为半径的球体中，其中包含的沙粒数少于1000万个第八级单位。这个数字用现代符号表示就是1063或1后面跟63个零。几乎可以确定，阿基米德在进行这一计算时考虑了改进希腊数学符号，但我们并不清楚他是否发现了一种新的简短的符号体系来表示上述数字。

我们从帕普斯《数学汇编》第二卷的片段中得知，阿波罗尼奥斯曾建议改进希腊数字表示法，但是我们并不了解这种表示法的基本组成。因此，希腊人从未有过清晰、全面的数字符号体系。颇具讽刺意味的是，这一无上荣誉属于一个名不见经传的印度人。我们甚至不知道应该感谢谁做出了如此重要的贡献，推动了人类知识的全面进展。

从“logistica”转移到“arithmetica”后，我们首先关注毕达哥拉斯的算术研究。毕达哥拉斯在建立他的学派之前，曾跟随埃及祭司学习多年，熟悉埃及的数学和神学。正如一些权威人士声称的那样，如果他曾去过巴比伦，他可能也学会了那里使用的六十进制数学符号，他可能已掌握了比例理论的大量知识，并且可能发现了大量有趣的天文观测结果。他被当时希腊人中弥漫的猜想精神所感染，他试图努力发现宇宙的同质性原理。在他之前，伊奥尼亚学派的哲学家有过相同的探索，但他们关注的是物质，而毕达哥拉斯则关注的是事物的结构。他观察到数字与宇宙现象之间的各种数值关系或相似之处。他深信他能在数字及其关系中发现真哲学的基础，因此他着手将万物的起源追溯到数字。他观察到，乐弦分别拉伸其长度的时，产生的音阶分别为一个八度音、一个四度音和一个五度音。因此，和声取决于音乐的比例，它不过是一个神秘的数字关系，有和谐之处，即有数字。因此，宇宙的秩序和美丽源于数字。音阶有7个，而天空有7颗行星。前者所含的数字关系必定同后者有某种联系。有数字之处即有和谐。他用他的灵耳在行星运动中发现了奇妙的“球谐”。毕达哥拉斯学派赋予一些数字特别属性，他们认为，1是事物的本质。它是一个绝对数字，因此，1也是所有数字以及所有事物的起源。4是最完美的数字，并且被认为以某种神秘方式与人类灵魂相呼应。菲洛劳斯认为，5是颜色存在的原因，6是寒冷的起因，7是头脑、健康和光明，8是爱和友谊存在的原因。在柏拉图的作品中，我们也找到证据能够证明，当时人们对数字与宗教关系的相似信念。甚至亚里士多德也将美德与数字相联系。

关于这些神秘主义猜测，我们已经说得够多了。这些猜测可以表明当时的数学家对他们创造发展的数学有多么浓厚的兴趣。如果不是他们开辟了这条数学探究的新道路，那么这一领域可能会一直无人问津。

毕达哥拉斯学派将数字分为奇数和偶数。他们观察到，从1到2n+1的奇数级数的总和始终是一个完整的平方，并且通过加上偶数个数，得出了2, 6, 12, 20的数列，其中每个数字都可以分解为两个不同的因数。比如，6=2 × 3, 12=3×4，等等。这些后面的数字被认为非常重要，因此有了单独的名称：异边（非等边）数。形式的数字称为三角数，因为它们总是可以这样排列。等于所有可能因子之和的数字（例如6、28、496），被称为完全数；超过此和的数字，被称为过度数；少于此和的被称为不足数。亲和数是指两数字等于对方因子之和。毕达哥拉斯学派非常重视比例问题。当a-b=c-d时，a, b, c, d成算术比例；当a：b=c：d时，a, b, c, d成几何比例；当（a-b）：（b-c）=a：c时，a, b, c成谐波比例。毕达哥拉斯学派也熟悉音乐比例a ：。杨布里柯称，毕达哥拉斯从巴比伦引进了这一比例。

毕达哥拉斯在大量研究中将几何和算术相联系。他认为算术事实在几何中必有其相应情况，反之亦然。关于他的直角三角形定理，他设计了一条规则，通过该规则可以找到多个整数，使其中两个的平方和等于第三个数的平方。因此，若一边取奇数（2n+1），那么另一边=，而斜边=2n2+ 2n+1。如果2n+1=9，则其他两个数字分别是40和41。但是，此规则仅适用于斜边与一边相差1的情况。在直角三角形的研究中，无疑会出现令人费解的微妙问题。因此，给定一个等于等腰直角三角形边长的数字，找出等于斜边边长的数字。该边边长可能等于或任何其他数字，但是在每种情况下，寻找与斜边完全相等的数字的努力都必定是徒劳的。可能不断有数学家反复试图解决这个问题，终于，最后“有一位罕见的天才，在快乐的时刻，被允许像雄鹰一样展翅翱翔，超越人类思维的高度”，最后欣喜地发现，这个问题无解。无理数理论大概就是这样诞生的。欧德莫斯认为，是毕达哥拉斯学派发现了无理数理论。的确，数学家需要非凡的胆量才能接受线不仅可以长度（量）不同，而且性质也不同，尽管真实存在，但又绝对不可见。无需多想，毕达哥拉斯学派在无理数中看到了深刻的谜团和一种不可描述的符号。有说法称，毕达哥拉斯学派视无理数理论为机密，首先泄露了这个秘密的人最终因沉船而丧生，“因不可言说者、不可见者，不得为人所知”。这一发现被归到毕达哥拉斯名下，但我们必须记住，毕达哥拉斯学派习惯将所有重要发现归到毕达哥拉斯名下。已知第一个不可公度比似乎是正方形的边与其对角线的比率，为。西奥多勒斯（Theodorus）补充称，边长为的正方形无法与线性单位通约。泰阿泰德将这一结论推广到边长为无理数的任意正方形的边。欧几里得（约公元前300年）在他的《原本》第十卷第九章进一步扩大了范围，若两个量的平方之比为（不为）平方数之比，则两个量可通约（不可通约）。在第十卷中，他详细讨论了不可公度量。他研究了各种可能由表示的线，a和b分别代表两条可公度线。最后，欧几里得得到了25种结果，每种结果的每个量都与其他所有量不可公度。德·摩根说：“这一卷的重要性远超于其他卷（甚至连第五卷也是）。我们几乎可以怀疑，欧几里得在自己脑海中整理了自己的资料，并在第十卷完全阐述了他的观点后才写了先前诸卷，但他没有机会活到对它们进行彻底的修改。”直到15世纪，不可公度理论一直躺在第十卷。

回想一下，早期埃及人已对二次方程有一定了解，所以毕达哥拉斯时代的希腊学者有类似知识也就不足为奇。公元前5世纪，希波克拉底研究弓形面积时，假设二次方程解的几何等价形式为，欧几里得在《原本》第六卷命题27至命题29中给出了完整的几何解法。他在第二卷命题5、6和11中以几何方法求解了某些二次方程式，欧几里得将《原本》的第七卷至第九卷用于讨论算术。这几卷中究竟有多少是欧几里得自己的发现，有多少是从前代借鉴的内容，我们无从得知。但毫无疑问，其中有很多欧几里得自己的发现。第七卷始于21个定义，毕达哥拉斯学派给出了除“素数”以外的所有数字的定义，接下来的任务是寻找两个或更多数字的最大公约数。第八卷研究成连续比例的，并且具有平方数、立方数和平面数之间的相互关系的数字。第二十二个定义为，如果3个数字成连续比例，并且第一个是平方数，那么第三个也是。在第九卷中，欧几里得继续讨论了相同主题，这个问题包含的一个命题是：质数的数量大于任何类给定数字。

欧几里得去世后，算术研究在其后400年几乎陷入停滞，几何占据了所有希腊数学家的注意力。目前只知道有两个人做过值得一提的算术研究。埃拉托塞尼发现了“埃拉托塞尼筛选法”，用于“筛选”所有素数：依次从3向上记下奇数。每隔3个数字删除1个数字，这样我们删除了3的所有倍数。5之后，每隔5个数字删除1个数字，这样我们删除了5的所有倍数。这样，通过清除7、11、13等的倍数，我们只剩下质数。海普西克利斯研究了多边形数量和算术级数，而欧几里得则在研究中完全忽略了这一点。在他的《星星的升起》研究中，他发现：（1）在2n项的算术级数中，后n个项的总和比前n个项之和大n2的倍数；（2）在这样的级数中对于2n+1个项，各项总和是项数乘以中间项；（3）在2n项这样的级数中，各项总和是项数的一半乘以两个中间项。

海普西克利斯之后两个世纪，算术从历史上销声匿迹。新毕达哥拉斯学派的尼科马霍斯在公元100年左右开启了古希腊数学的最后一段辉煌时期。从此以后，算术一直是人们最热衷的研究领域，而几何学却被渐渐忽视。尼科马霍斯写了一本名为《算术入门》（Introductio Arithmetica）的作品，在当时非常有名。此书在当时大受欢迎，以至于为此书作评注者极多。波爱修斯将此书译成拉丁文。卢西安（Lucian）对计算者的最高称赞就是：“您的计算像尼科马霍斯一样好。”《算术入门》是第一本详尽讨论算术的著作，并且其中的算术研究独立于几何研究。他没有像欧几里得那样作线，而是用数字表示事物。可以确定，他在书中保留了过去的几何命名法，但是这种方法是归纳性的而不是演绎性的。“它唯一做的就是分类，而其中所有类别都来自数字，并用数字表示。”该书包含一些原创成果。书中指出，立方数必定可表示连续奇数之和。因此，8=23=3+5, 27=33=7+9+11, 64=43=13+15+17+19，依此类推。这很可能是尼科马霍斯自己的发现。该定理随后被用于求立方数之和。希恩曾写过一篇名为《柏拉图研究所必需的数学规则》的论文，但写得不是很好，价值寥寥。其中一个定理倒是很有趣：每个平方数本身或该数字减去1都可被3、4或两者同时整除。杨布里柯在评论毕达哥拉斯学派哲学时提出的一个命题也非常了不起。毕达哥拉斯学派分别称1、10、100、1000为第一、第二、第三、第四“道”的单位。基于此，杨布里柯提出定理：若任意3个连续数字中最大整数可被3整除，将3个连续数字的和的各个数位的数相加，然后得到的和的各个数位的数再次相加，依此类推，最终的和为6。例如，61+62+63= 186, 1+8+6=15, 1+5=6。这一发现令人瞩目。要知道看到这一点这并不容易，因为希腊数字符号不同于阿拉伯数字符号，很难从中看出数字的此类特点。

希波吕托斯（Hippolytus）似乎是3世纪初意大利罗马的主教。此处不可不提及此人，因为他在“证明”过程中使用了“弃九法”和“弃七法”。

尼科马霍斯、希恩和西玛利达斯（Thymaridas）等人的作品中有一些本质上是代数研究。西玛利达斯在一处使用了一个希腊词汇，意思是“未知数”。看到这种表述，读者大概觉得代数并不遥远。回顾代数发展时，我们在《帕拉丁选集》（Palatine Anthology，以下称《选集》）中看到了一些算术小诗，非常有趣。这本书中有约50个需要用线性方程式解决的问题。在引入代数之前，这些问题以谜语的形式呈现。例如下面一个据说是欧几里得给出的问题：一头骡子和一头驴满载玉米，并步前行。骡子对驴说：“如果把你的玉米分给我一些，我的负担就是你的2倍。而如果是我分给你同样重量的玉米，我们的负担就完全相同。请问博学的几何学家，骡子和马的负担各为多少？”

高夫说，可以肯定，无论这个问题是不是欧几里得提出的，他都能够解决，这个问题体现了古代几何学的魅力。另一个更加困难的难题是著名的“群牛问题”，阿基米德向亚历山大的数学家提出了这个问题。问题的答案是不确定的，因为从7个方程式中可以找到8个整数未知数。这个问题可以这么表述：太阳神有许多不同颜色的公牛和母牛。（1）在公牛中，白牛（W）的数量为蓝牛（B）和黄牛（Y）的是Y和花斑牛（P）的, P是W和Y的。（2）母牛（w、b、y、p）颜色相同。，求公牛和母牛的数量。此题目中涉及的数字很大，再加上W+B的和是平方数，以及P+Y的和是三角数的条件，问题变得更加复杂，出现了二次不定方程。《选集》中的另一个问题学生应该很熟悉：“有四根水管，第一根在一天之内可以充满水箱，第二根在两天内可以充满水箱，第三根在三天内可以充满水箱，第四根在四天内可以充满水箱：如果所有管道一起运行，要多久才能填满水箱？”这些问题中有很多困扰了算术学家，但代数学家则很容易解决。他们在丢番图时代变得大受欢迎，无疑对丢番图产生了强大的刺激。

丢番图（Diophantus）是亚历山大第二学派最后一位也是最多产的数学家之一，在250年左右比较活跃。他享年84岁，他的墓志铭也记录了这一点：丢番图的童年时期占他人生的，青年时期占他人生的，之后的单身时期占他人生的，结婚5年后他生了一个儿子，他去世前4年，儿子去世了，当时他儿子的年龄只有他的一半。丢番图的出生地和血统未知，如果他的作品不是用希腊语写成的，没人会想到它们是希腊思想的结晶。他的作品中没有什么内容能够勾起我们对古典时期希腊数学的记忆，他几乎是针对一个新主题提出了几乎全新的观点。在古希腊数学家圈子里他形单影只。我们也许可以说，对除他之外的希腊人来说，代数几乎是一门未知的科学。

他的作品中，《衍论》（Porisms）已失传，但《多边形数》（Polygonal Numbers）的部分内容，以及他的大作《算术》（Arithmetica）的7卷保留了下来。据说《算术》共包含13卷。经过历史学家坦纳、黑斯以及维特海姆（Wertheim）坚持不懈的努力，《算术》最新版已出版。

如果不考虑阿默士纸草书中涉及的代数符号和方程解的相关内容，那么《算术》就是现存最古老的代数论著。此书介绍了用代数符号表示代数方程的思想，其中研究纯粹是分析性的，完全脱离了几何方法。他指出“被减数乘以被减数得被加数”。这适用于差的乘积，例如（x-1）（x-2）。必须指出的是，丢番图没有负数的概念。他只知道差。例如，在“2x-10”中，他提出2x不能小于10，以避免出现荒谬的结果。他似乎是第一个可以不用几何方法进行（x-1）×（x-2）之类运算的人。在欧几里得的著作中，作为高级几何定理的（a+b）2=a2+ 2ab+b2等式，对丢番图来说，不过是代数运算律最简单的结果。他用表示减法符号、ι表示相等。对于未知数，他只用符号ç表示。他还给出了表示并列的符号，但没有给出加法符号。丢番图使用的符号很少，有时他甚至忽略这些符号，即使可以用符号表示，他也用文字描述运算。

在解联立方程时，丢番图只用一个符号表示未知数并得出答案，最常见的方法是通过试位法，该方法为一些未知数分配仅满足一个或多个条件的初始值，产生一些明显错误的表达式，但是借此通常可以发现某种策略可以找到满足问题所有条件的值。

丢番图也解决了二次定方程。欧几里得和希波克拉底用几何方法求解了这些方程。海伦似乎找到了代数解，他给出了方程144x（14-x）=6720的近似解。疑似同样是海伦求出了方程的解：。丢番图在解二次方程时从不给出解答过程。他只说结果。比如，“84x2+7x=7，所以。”从不同来源搜集到的部分资料看，似乎丢番图把二次方程写成这种形式，是为了使所有项都为正。因此，从丢番图的观点看，存在三种具有正根的二次方程： ax2+bx=c, ax2=bx+c, ax2+c=bx，每种情况都需要与其他两种稍稍不同的规则。注意，这里他只给出了一个根，他未能观察到二次方程有两个根，哪怕是两个正根，这一点颇为令人惊讶。但是，我们也要记得，无法察觉到问题可能有两个或两个以上解，在古希腊数学家中是一种常态。我们要记住的另一点是，丢番图他从不接受负数或无理数的答案。

丢番图仅在《算术》第一卷讨论了求解定方程。现存其余各卷主要处理形式为Ax2+Bx+C=y2的二次不定方程，或相同形式的两个联立方程。他考虑了这些方程中可能出现的几种情况，但并非全部情况。高夫称，内塞尔曼（Nesselmann）对丢番图的解题方法看法如下：“（1）当且仅当缺少二次项或绝对项时，他才能完全处理二次不定方程：他对方程Ax2+C=y2以及Ax2+Bx+C=y2的解在很多方面都有局限。（2）对于联立的两个二次‘方程’，只有当两个表达式都缺少二次项时，他才能给出确定的解答。即使如此，他给出的解也不是通用解。更复杂的表达式只有在特别有利的情况下才会出现。”虽然如此，丢番图还是解出了Bx+C=y2,。

丢番图的非凡能力在另一个方面也有体现，他具备出色的创造力，能够将各种方程简化为他知道如何求解的特定形式。他所考虑的问题涵盖范围广阔，在丢番图的大作中，其中130个问题分属50多个不同类别，这些问题被放在一起而没有进行任何分类，但是，这些问题的解法比问题还要多。丢番图几乎不了解通用解法，因此每个问题都用了独特方法解答，一个问题的解法经常不能用于解决与其关系最相似的问题。汉克尔曾说过：“对于现代人来说，即使研究了100种丢番图的解法，也很难解决第101个问题。”不过黑斯曾表示这种说法有些过头了。

尽管他的等式可能存在无限解，但他总是只满足于提出一种解法，这让他的工作失去了大部分科学价值。他的研究还有另一个重大缺陷，那就是他的解法并不通用。现代数学家，例如欧拉、拉格朗日、高斯不得不重新研究不定分析，并且没能从丢番图的研究中得到任何直接帮助。尽管存在这些缺陷，我们还是不得不钦佩丢番图在特定方程式的解法中表现出的天赋。