第一章 绪论

第一节 弹性力学及有限元的内容

弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。

对工科各专业说来，弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务是一样，但在研究对象上有所分工，在研究方法上有所不同。在材料力学里，基本上只研究所谓杆构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内容。在结构力学里，主要是材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，也就是所谓杆件系统，例如桁架、刚架等。至于非杆状的结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构，则在弹性力学里加以研究。对于杆状构件作进一步的、较精确的分析，也须用到弹性力学。

虽然在材料力学和弹性力学里都研究杆状构件，然而研究的方法却不完全相同。在材料力学里研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都还引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大大简化了数学推演，但是，得出的解答往往只是近似的。在弹性力学里研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出了近似解答。例如，在材料力学里研究直梁在横向荷载作用下的弯曲，就引用了平面截面的假定，得出的结果是：横截面上的正应力（弯曲正应力）按直线分布。在弹性力学里研究这同一问题，就无须引用平面截面的假定。相反地，还可以用弹性力学里的分析结果来校核这个假定是否正确，并且由此判明：如果梁的深度并不远小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，横截面上的正应力并不按直线分布，而是按曲线变化的，并且材料力学里给出的最大的应力将具有很大的误差。又例如，在材料力学里计算有孔的拉伸构件，通常就假定拉应力在净截面上均匀分布。弹性力学里的计算结果表明：净截面上的拉应力原不是均匀分布，而在孔的附近发生高度的应力集中，孔边的最大拉应力会比平均拉应力大出几倍。

弹性力学吸收了结构力学中的超静定结构分析法，大大扩展了它的应用范围，使得某些比较复杂的本来是无法求解的问题，得到了解答。在20世纪50年代中叶发展起来的有限单元法中，把连续弹性体划分成有限大小的单元构件，然后用结构力学里的位移法、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力学综合应用的良好效果。

有限单元法（FEM，Finite Element Method）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的近似解，然后推导求解这个域的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。它广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等问题，且已经应用于水工、土建、桥梁、机械、电机、冶金、造船、飞机等，几乎所有的科学研究和工程技术领域。基于有限元分析（FEA）算法编制的软件，即有限元分析软件，通常根据软件的适用范围，可以将之区分为 专业有限元软件和大型通用有限元软件。实际上，经过了几十年的发展和完善，各种专用的和通用的有限元软件已经使有限元方法转化为社会生产力。常见通用有限元软件包括Ansys、Abaqus、Algor、Femap／NX Nastran、Hypermesh、COMSOL Multiphysics、FEPG等。