第三节 土中应力的极限平衡条件

土中一点的应力状态通常可以用应力圆与库仑强度线之间的关系（位置）来说明：当应力圆位于库仑强度线的下方时，如图1-9（a）所示，说明该点任何方向平面上的剪应力τ均小于土的抗剪强度τ_f（即τ<τ_f），该点的应力处于弹性状态，即该点处于稳定状态；当应力圆与库仑强度线（τ_f-σ关系线）相切时，如图1-9（b）中的D点，说明该点在与水平面成α夹角的平面（图1-9中的AD面）上的剪应力τ刚好达到土的抗剪强度τ_f（即τ=τ_f），该点的应力处于极限平衡状态，该平面达到破坏状态，称为破裂面或滑动面，此时的应力圆称为极限应力圆；当库仑强度线成为应力圆的割线时，如图1-9（c），说明该点在与水平面成夹角α₁到α₂的一系列平面［即图1-9（c）中从AD₁到AD₂平面之间的一系列平面］上，剪应力τ均达到了土的抗剪强度τ_f，该点已处于破坏状态。当然这只是一种理论上的情况，因为实际上只要该点某一平面上的应力达到极限平衡状态，该点即已处于破坏状态。

根据图1-9（b）所表示的极限应力圆与库仑强度线所构成的几何条件，可以建立土中一点处应力的极限平衡条件。

如将图1-9（b）中的库仑强度线延伸，并与水平轴相交于E点，则三角形EBD为一直角三角形，ED线与EB线之间的夹角为φ（土的内摩擦角），故由三角形EBD的几何关系可得

图1-9 土中一点处的应力状态

公式（1-10）也可写成：

公式（1-11）经整理后可得

公式（1-12）即为土中一点处应力的极限平衡条件。将公式（1-12）经三角函数的变换后，可得土中一点处应力的极限平衡条件的简化表达式：

公式（1-13）和公式（1-14）所表示的是黏性土中一点处应力的极限平衡条件，对于砂土，由于凝聚力c=0，故砂土中应力的极限平衡条件变为

应力达到极限平衡的平面称为破裂面或滑动面，它的方向由它与最大主应力σ₁作用面的夹角α来决定（图1-9）。由于图1-9（b）中的三角形EBD为一直角三角形，其中∠DEB=φ,∠EDB=90°，故∠DBE=90°-φ，因此外角∠DBC=2α=180°-∠DBE=180°-（90°-φ）=90°+φ，所以破裂面与最大主应力作用面之间的夹角为

在图1-9（b）中，应力圆上的A点为小主应力σ₃的点，C点为大主应力σ₁的点，BC为大主应力作用面，BA为小主应力作用面，D点为与水平面成α角的平面上的应力点，该点的正应力为α，剪应力为τ=τ_f，BD面为剪应力达到抗剪强度的平面，故BD线与BC线之间的夹角为破裂面与最大主应力作用面之间的夹角，但由于在应力圆中该角度较实际的夹角α放大了一倍，因此角度∠DBC=2α。BD线与BA线之间的夹角为破裂面与小主应力作用面之间的夹角，该角度也较实际的夹角α₁放大了一倍，故角度∠DBA=2α₁。

由图1-9(b)中的几何关系可知，破裂面与小主应力作用面之间的夹角为

在应力圆的上下方可绘出对称的两条库仑强度线，分别与应力圆圆周的上、下一点相切，这两个切线是对称的，也就是说有两个对称的D点。因此从B点分别对这两个D点作连线，可得对称的两个破裂面，这两个破裂面与大主应力σ₁的作用面BC之间的夹角均等于2α，而这两个破裂面与小主应力σ₃的作用面BA之间的夹角均等于2α₁。所以，当土体处于极限平衡状态时，土体中存在两条连续而对称的破裂面（滑动面或滑裂面），它与大主应力作用面的夹角α=45°+，与小主应力作用面的夹角α₁=45°-。