第六节 土体表面为倾斜平面、墙面为竖直平面情况下的土压力计算
一、土体为无黏性土的情况
（一）主动土压力
1.填土表面无荷载作用
当土体表面为倾斜平面，与水平面的夹角为β［图2-22（a）］时，通常假定主动土压力的作用线与土体表面平行。此时可取任意水平直线上的一点C为圆心，画一个圆，并在该直线的上、下分别作一条直线OF和OG与该圆相切于F点和G点，并分别与水平线OH成夹角φ，然后从O点作一条与水平线OH成夹角β的直线（即与土体表面平行的直线），与该圆相交于B点和A点［图2-22（b）］，从B点分别作F点和G点的连线BF和BG，则BF和BG直线的方向即为土体处于主动极限平衡状态时，土体中两组滑动线的方向［图2-22（a）］。
如果从该半无限土体中深度为z处取出一个菱形单元体［图2-22（a）］，此单元体的顶边和底边与土体表面平行（即与水平面的夹角为β），左右两侧边则为竖直面（与挡土墙墙面平行）。在菱形单元体的顶面和底面分别作用有竖直应力σz，在左右两侧边则分别作用有侧向压应力pa，如图2-22（a）所示。
图2-22 土体表面倾斜墙面竖直时主动土压力的计算图
在土体处于主动极限平衡状态的情况下，土体表面以下深度z处，作用在与水平线倾斜成β角的平面上的竖直应力为
式中 σz——土体表面以下深度z处的竖直应力,kPa；
γ——土体的容重（重力密度）,kN/m3；
z——土体表面以下计算点的深度,m；
β——土体表面与水平面的夹角,（°）。
在土体处于主动极限平衡状态下，土体表面以下深度z处，作用在单元体上的应力可用图2-22（c）所示的应力圆来表示。在该应力圆中，直线长度
表示竖直应力σz，直线长度
表示侧向应力pa。
根据土压力系数的含义可知
式中 Ka——主动土压力系数。
在图2-22（c）中，从圆心C点作OA线的垂直线CD，同时从点C作C、A两点的连线AC和C、B两点的连线BC。由图中的几何关系可知
由图中三角形ODC可知
由三角形BDC的几何关系可知
由于
，而由三角形OFC可知
由三角形ODC可知
因此
将公式（2-236）和公式（2-237）代入上式，则得
所以根据公式（2-235）和公式（2-238）可知
由图2-22（c）可知
而由图中三角形CDA的几何关系可得
由于
，故将公式（2-236）和公式（2-237）代入上式，得
将公式（2-235）和公式（2-241）代入公式（2-240）得
将公式（2-239）和公式（2-242）代入公式（2-234），得主动土压力系数为
上式经变换后也可以写成下列形式：
故作用在土体表面以下深度z处的主动土压强为
pa=σzKa
将公式（2-233）代入上式，得
作用在墙面竖直和光滑的挡土墙上的总主动土压力为
式中 Pa——作用在挡土墙全部高度上的总主动土压力,kN；
H——挡土墙的高度,m。
2.填土表面作用均布荷载
当填土表面作用均布荷载q时，在土体表面以下深度z处，作用在与水平面倾斜成β角的平面上的竖直应力变为
此时作用在土体表面以下深度z处的主动土压强为
式中 Ka——主动土压力系数，按公式（2-243）或公式（2-244）计算。
将公式（2-247）代入公式（2-248），则得填土表面以下深度z处的土压强为
故作用在挡土墙上的总主动土压力为
（二）被动土压力
1.填土表面无荷载作用
当土体表面为倾斜平面，与水平面的夹角为β时［图2-23（a）］，通常也假定被动土压力的作用线与土体表面平行（即与水平线的夹角为β）。此时也可以绘制如图2-23（b）所示的极点圆。在图中从O点作直线OA与水平线OH的夹角为β,并与圆弧相交于A点，从A点作圆的两切点F和G的连线AF及AG，则直线AF和AG的方向，即为土体处于被动极限平衡状态时，土体中两组滑动线的方向如图2-23（a）所示。
图2-23 土体表面倾斜墙面竖直时被动土压力的计算图
如果从该半无限土体中深度为z处取出了一个菱形单元体，单元体的顶边和底边与土体表面平行，左右两侧为竖直面，此时在菱形单元体的顶面和底面分别作用有竖直向应力σz，左右两侧面则分别作用有侧向压应力pp，如图2-23（a）所示。
在土体处于被动极限状态的情况下，土体表面以下深度z处，作用在与水平面倾斜成β角的平面上的竖直应力为
σz=γzcosβ
由于假定被动土压力的作用方向仍与土体表面平行，所以在土体处于被动极限平衡状态下，土体表面以下深度z处，作用在单元土体上的应力可用图2-23（c）所示的应力圆来表示，在此应力圆中，直线OA的长度表示侧向应力pp（被动土压强），直线OB的长度表示竖直向应力σz，所以根据土压力系数的含义可知
式中 Kp——被动土压力系数。
由于
，故公式（2-251）又可表示为
将公式（2-242）和公式（2-239）代入上式，则可得土体表面倾斜、墙面竖直时的被动土压力系数为
作用在土体表面以下深度z处的被动土压强为
pp=σzKp
将公式（2-233）代入上式，则得被动土压力强度为
作用在挡土墙全部高度上的总被动土压力为
式中 Pp——作用在挡土墙全部高度上的总被动土压力,kN；
H——挡土墙的高度,m；
γ——土的容重（重力密度）,kN/m3；
Kp——被动土压力系数；
β——填土表面与水平面的夹角,（°）。
2.填土表面作用均布荷载
当填土表面作用均布荷载q时，填土表面以下深度z处的被动土压力强度为
式中 Kp——被动土压力系数，按公式（2-252）或公式（2-253）计算。
此时作用在挡土墙上的总被动土压力为
二、土体为黏性土的情况
（一）主动土压力
1.填土表面无荷载作用
当土体表面为倾斜平面，与水平面的夹角为β，土体为黏性土时，仍假定土压力作用线的方向与土体表面平行，此时土压力由两部分组成，一部分是由土体重力产生的，另一部分是由土的凝聚力产生的，因此作用在土体表面以下深度z处的主动土压力强度可近似地按下式计算：
式中 Ka——填土表面为倾斜平面、墙面竖直时的主动土压力系数，按公式（2-243）或公式（2-244）计算。
当考虑土体表面裂缝时，裂缝深度zc可根据公式（2-257）求得，即令式中pa=0，由此可得
作用在挡土墙全部高度上的总主动土压力的计算公式如下。
（1）不考虑土体表面裂缝时：
（2）考虑土体表面裂缝时：
2.填土表面作用均布荷载
（1）不考虑土体表面裂缝时。当填土表面作用均布荷载q时，在填土表面以下深度z处的主动土压强为
此时作用在挡土墙上的全部主动土压力（即总主动土压力）为
（2）考虑土体表面裂缝时。在考虑土体表面裂缝时，作用在填土表面以下深度z处的主动土压强仍可按公式（2-261）计算，即
此时填土表面的裂缝深度zc可根据公式（2-261）求得，即令式中pa=0，由此可得
作用在挡土墙上的总主动土压力为
（二）被动土压力
1.填土表面无荷载作用
（1）被动土压力强度。
式中 Kp——被动土压力系数，按公式（2-252）或公式（2-253）计算。
（2）总被动土压力。
2.填土表面作用均布荷载
当填土表面作用均布荷载q时，填土表面以下深度z处的被动土压力强度为
此时作用在挡土墙上的总被动土压力为
