2.2 光学部件位置关系矩阵

2.2.1 位置矢量与方向矢量

在动态光学系统中，位置矢量主要用来表示物空间或像空间中质点的相对位置。用角标表示其在相应坐标系内的标定，例如：

表示像点A′在物坐标系oxyz内的标定。分别为像A′在坐标轴x，y，z上的投影，即：

如图2.14所示，表示物点A在像坐标系o′x′y′z′内的标定，为矢量在像坐标系x′，y′，z′轴上的投影长。位置矢量是定位的矢量，所表示的矢量的起点是确定的，起点就是自身坐标系的原点。只有将物像矢量在自身坐标系内标定时，坐标才与其在三个坐标轴的投影相等，而一般情况下不相等，如图2.14b所示。

这一点在处理会聚光路中的动态系统时应特别注意。在图2.14b中，像矢量在自身坐标系内标定时：

为定位矢量，定位点为o′点。像点A′在oxyz坐标系内标定时应为：

平行光路中的物点或像点位于无限远处，研究的重点为方向共轭关系，物像矢量为自由矢量，用单位矢量表示，即：

这时物像矢量可任意移动，物像坐标可任意移动，物像矢量可在任意坐标系内标定。当物矢量在自身坐标系内表示为（图2.15）：

同理，像矢量在自身坐标系内表示为：

2.2.2 位置关系共轭矩阵

光学元件及部件处于会聚光路中时，物空间一点A及像空间一点A′与之共轭，如图2.16所示。

由图2.16所示的物像关系可知：

在式（2-32）、式（2-33）和式（2-34）中，α为A_x线段的纵向放大倍率，β为A点的横向放大倍率，由几何光学中的高斯关系式可得：

两式相减并整理得：

于是有：

化为矩阵：

式（2-43）代表位置共轭关系，称为倍率矩阵。B表明了光学部件的高斯光学特性，当A点靠近yoz平面时，可得：

对于1^×倍光学系统，如平板玻璃系统，有如下关系：

对于多个光学系统，有如下关系：

式（2-46）中，B₁B₂…B_n分别为系统中各元件的位置共轭关系矩阵（倍率矩阵）。这表明位置共轭关系的倍率矩阵应用于物像都在有限距离处的系统中，即位于会聚光路中。

2.2.3 方向共轭关系矩阵

光学部件位于平行光路中，物点及像点在无限远处，这种物像关系为方向关系。设光学元件的角放大倍率为γ，一物矢量经光学部件后的像为，如图2.17所示，物像为单位矢量，可表示为：

式（2-47）为物矢量A′在自身坐标系oxyz中标定的形式，式（2-48）为像矢量在自身像坐标系o′x′y′z′中标定的形式。其中：

将式（2-47）、式（2-48）和式（2-49）化简得：

式（2-50）表明了平行光路中物像矢量在自身坐标系中标定形式的物像共轭关系。

式（2-51）为平行光路中的倍率矩阵，代表了方向共轭关系：

式（2-52）为归一化因子，当φ很小时，C≈1。通常研究近轴动态成像时忽略该因子。望远系统γ=Γ，可得：

光学部件位于平行光路中，像位于会聚光路中。这时，物用方向矢量表示，像为定位矢量，设光学部件焦距为f′，共轭关系如图2.18所示，可得：

2.2.4 光学系统衔接关系

当光学系统由多种部件级联对接组成时，光路情况不同，对接方式也不同。一般有平行光路与平行光路对接、会聚光路与会聚光路对接等方式，图2.19所示为平行光路与会聚光路在同一个光学系统中。

光学系统衔接后的物像共轭关系矩阵，即为系统的物像关系矩阵。如图2.20所示，倍率光学元件位于平行光路和会聚光路中，衔接系统整体的倍率矩阵为：

图2.20所示光学系统衔接共轭关系矩阵如下：