2.7　如何架桥能使路程最短

问题：

请看图30，有一条河流，两边的河岸基本是平行的，现在要在这条河上建造一架与河岸垂直的桥，使A到B的路程最短，这座桥应该建在哪里呢？

回答：

从A点作一条和河流方向垂直的直线，在这直线上截取和河面等宽的线段AC，连接B和C，这样就能找到D点，在这个D点建桥，能够使AB之间的距离最短。

图30　在河上什么地方架一座与河岸垂直的桥，能使从A到B的路程最短

图31　位置如图所示

当我们从D点出发，垂直于河岸建起桥DE，如图32所示，我们将E和A连接起来，得到一条从A出发的路径AEDB，其中，AE和CD是互相平行的，ACDE是一个平行四边形，两边AC和ED的长度相等而且互相平行。因此，AEDB的长度与ACB的长度相等。我们现在很容易证明任何一条别的路都要长于这条路。

假设存在一条这样的路AMNB（图33），它的距离要比AEDB短，选取一个点M，我们已知，AEDB的长度与ACB的长度相等，那么就是说，它的距离要比ACB短。我们先将C和N连接，可知CN等于AM，这就说明AMNB等于ACNB。但显然，路径CNB比路径CB长，也就是ACNB比ACB长，所以也比AEDB长。通过这个不成立的假设，我们知道，AMNB并不比AEDB短，而是比它长。

如果你还不服气，认为一定存在一个这样的M点能使距离更短，那么你还可以用这种证明方法多证明几次，你最终会发现，AEDB始终是最短的一条路径。

图32　DE就是满足要求的桥图

图33　AEDB就是最近的路