1.2 信息的逻辑表示

信息是逻辑学研究的对象，信息一般是指客观存在的一切事物通过物质载体所发出的消息、情报、指令、数据和信号中所包含的一切可传递和交换的内容。数字、字母、文字、图像、声音、波形等都可以认为是信息，它们可以通过对象进行表达、传递和交换。根据研究数据的形式不同，我们可以把信息分为数值型数据和非数值型数据，除了能够进行计算的数值型数据之外，其他信息都可以看做非数值型数据。这两种数据都可以用逻辑常数“0”“1”进行表示。

逻辑常数表示的是两种条件或状态，单独的“0”“1”是无法表达仸何信息的。我们应该从信息自身的特征进行研究，用“0”“1”有序排列组合的形式，去表示信息的共同特征。比如说运动员，编号是它的信息特征，可以用“0”“1”的排列组合将所有运动员编号表示出来。同理，对于数字电路，信息可以利用输入或输出的稳定电压排列组合来表示，也可以用“0”“1”的排列组合来表示。

1.2.1 数值型数据的逻辑表示

在逻辑问题或数字电路中表达的数值型数据，数据的位数只有“0”“1”两个数字，这到底是一种怎样的表示方法呢？在日常生活中，人们是使用十进制数来表示数值型数据的，因此，我们应从十进制数入手，找出其表示的规律。十进制数是一种表示数值型数据的方法，这种方法称为数制。除了十进制数之外，是否存在其他表示数的方法呢？是否还有其他数制呢？答案是确定的。因此，我们可以把数制推广到仸意的R(R≥2)进制数，研究R进制数的表示方法，找出“0”“1”两个数字表示的数制，实现不同数制之间的转换，研究逻辑常量表达数据的表示形式和运算规则。

1.数制

数制是一种表示数的方法。在日常生活中，人们是以十进制数来表示数据并进行计数与运算的。100个苹果的“100”，10.6元的“10.6”都是十进制数表示的数据，它由整数部分和小数部分组成。对于整数位有n位、小数位有m位的仸意十进制数来说，我们可以把它表示为十进制数据的形式。

(kn-1 kn-2…k1 k0.k-1 k-2…k-m+1 k-m)10

从所列数据来看，数据的下标10表示该数为十进制数据，该数据主要由ki自高位向低位排列组成，i为位号，i为负数表示该位为小数位，ik称为位或系数，用0～9之间的数表示。

根据十进制数据大小的表示规律，该数据可以展开为乘积和的形式。

上式称为多项式的表示形式，ik为第i位数据的系数，10 i称为第i位对应的权，10为基数，它的指数即为本位的位号，它的大小是指本位系数为1个单位时该位数据的大小。ik × 10 i表示第i位数据的实际大小，它由位与权的乘积计算所得，因此，这种表示数的方法称为位权表示法，是我们书写时经常采用的格式。十进制数加减法计算原则是“逢10进1，不够减向高位借1变10”。

如果把十进制数中的10改为仸意的R，则整数为n位、小数为m位的十进制数则变为R进制数，该数据如下表示：

(kn-1kn-2…k1k0.k-1k-2…k-m+1k-m)R

仸意R进制的多项式表示形式如下：

体现了位权表示法的含义，对于其中的参数，约定如下。

① 位号与指数：i既是系数（位）对应的位号，也是权对应的指数。i为正整数或 0 时表示的是整数位，为负整数时表示的是小数位。

② 系数（位）：ik为第i位系数的大小，系数可以取值的范围应该在0～(R−1)之间。系数最大取值比进制数小1。

③ 权： iR是第i位的系数ki为单位1时，该位的大小，这里称为R进制数的权。

④ 位权表示法：R进制数并列表示的每一位系数，其实际大小是由系数与权的乘积获得，因此称这种表示数据的方法为位权表示法。

⑤ 加减法计算规则：R进制数加法运算的规则为“逢R进一”；减法运算规则为“不够减向高位借1变R”。

根据仸意进制数数据位的取值范围，对于只能用0、1两个数字表示的数制，位的最大值为1，因此进制数应该是1 + 1 = 2，所以用“0”“1”作系数的数制是二进制数。二进制数是逻辑学中表示数值型数据的唯一数制。

【例1.2】对于两个五进制数(334.23)5和(231.04)5，阅读题目要求及实现过程。

（1）指出第1个五进制数的第1和−2位的系数与权，并写出多项式形式，求出十进制数。

① 对于仸意的R进制数，整数部分是从第0位开始自低位向高位算起的，小数部分是从小数位后−1位，依次向右减1位计算。因此，(334.23)5第1位的系数是3，权是51；第−2位的系数是3，权是5−2。系数与权是位权表示法的体现参数。

②根据位权表示法写出(334.23)5的多项式表示形式。

③将(334.23)5转化为十进制数。

只要将②中的多项式按照十进制数的计算方法和逢十进一的原则进行计算，得到的结果就是十进制数。使用这种方法可以把仸意进制数转换为十进制数的形式。在②中52对于五进制数来讲是100，对于十进制数来讲52= 5 ×5 = 25，25即为十进制数据，而五进制数的系数比9小，因此五进制数的系数也是十进制的系数。最后，按照逢十进一原则进行乘法、加法运算，最终得到的结果即为十进制的数。(334.23)5转化为十进制数，计算过程为

因此，(334.23)5转化为十进制数的结果是94.52。

（2）计算两个五进制数的和与差。

根据R进制数加减法运算原则，五进制数的加法原则是逢5进1；减法运算原则是对位相减，不够减则向高位借1变5。以下是(334.23)5和(231.04)5的加、减法运算过程。

① 加法运算。加法所列竖式为

在进行加法运算过程中，自低位向高位逐位相加并逢5进1。首先是最低位3加4为7，大于5，所以向高位逢5进1，余2，即本位和为2，进位为1；然后次低位2加0，再加进位1，得本位和为3，进位为0；依次类推……，最后得到两个五进制数相加的结果为(1120.32)5。

② 减法运算。减法所列竖式为

在进行减法运算过程中，自低位向高位逐位相减，如果减数大于被减数，需要被减数向高位借一个1，变成5后加到本位，然后再相减。首先是最低位的被减数3减去减数4，因为不够减，需要向次高位借1变为本位的5，5加3变为十进制数8，用8减去4得到本位差4，同时次高位2减去1后变为1；然后次高位被减数1减去减数0，得到结果1；依次类推……，最后得到两个五进制数相减的结果为(103.14)5。

（3）实现两个五进制数的乘法与除法运算。

对于仸意进制数的乘法和除法运算，实现过程并不相同。对于乘法运算而言，使用被乘数和乘数自低位向高位逐位相乘，然后相加的运算方法，相乘过程和相加过程全部采用逢R进1的原则，运算方法与十进制数运算方法相同；R进制数除法的运算方法也和十进制数除法的运算方法相类似，运算过程参考下面对应的除法竖式。

① 乘法运算。省略小数点，乘法所列竖式为

被乘数33423与乘数最低位4相乘，被乘数的最低3与4相乘得十进制数12，然后将12转换为五进制数22，本位和为2，进位为2；然后次低位2与4相乘得十进数8，再与进位2相加，得到十进制数10，将其转换为五进制数为20，本位和为0，进位为2；依次类推……，得到相乘的第一个五进制数300302。被乘数与乘数的每一位相乘后，按顺序和规则列出所有的乘积项，如乘法竖式所列，最后按照五进制数逢五进一的加法原则相加，得出最终的结果。

在进行运算时，我们没有写小数位，被乘数和乘数各有两位小数，因此结果应有4位小数位。乘法运算的结果为(200003.2102)5。

②除法运算。去掉小数点，将被除数和除数分别变为(33423)5和(23104)5，则相除的结果保持不变，列式计算两个数的商和余数，计算过程如下：

在进行除法运算的过程中，被除数33423和除数23104的位数相同，直接比较两数大小，除数小于被除数，能够直接相除。五进制数33423大于五进制数23104，小于23104的2倍即五进制数103140；因此最高位商为1，又因整数部分已经除完，1的后面应该有一个小数点；用被除数减去除数，得到五进制余数10314。在10314后添加一个0后，变为被除数，继续除以23104，得到商2和余数1422；在1422后添加一个0，因为不够除，所以商为0，余数不变；再填一个0，被除数变为142200，相除后得到商为3，余数为12323。进行除法运算的过程主要是进行乘法和加法运算，都要及时将运算数据转换为五进制数。该除法运算得到的商为(1.203)5，余数为(0.12323)5。

2.常用进位计数制

根据前面所述，我们知道在逻辑过程中，数值型数据只能用二进制数来表示，但是二进制数单位小，表示数据位数较多，因此在其他编辑、编译等非逻辑表示过程中，一般采用与二进制数有特殊转换规律的八进制数、十六进制数及人们习惯使用的十进制数来表示。常用进制数有二进制数、十进制数、八进制数及十六进制数4种。因数制采用位权表示法，所以我们主要掌握每种数制的基（进制数）、系数范围及表示、编辑格式及多项式表示形式。

（1）二进制数

在逻辑问题中，二进制数是能够表示数值型数据的唯一进位计数制。二进制数的基数为2，系数只有0、1两个数字。在编辑时，一般在二进制数后写上字母B作为区别于其他进制数的标志，数字11101.101B表示二进制数11101.101。二进制数的加法运算规则为“逢2进1”。

将二进制数11101.101B展开为多项式的表示形式：

11101.101B = 1 ×24 + 1 ×23 + 1 ×22 + 0 ×21 + 1 ×20 + 1 ×2−1 + 0 ×2−2 + 1 ×2−3

（2）十进制数

十进制数是人们在日常生活中表示数据的通用方法。十进制数的基数为10，系数由0～9间的数字表示。编辑时，在一个数据后写上字母D或不写仸何字母，都表示该数为十进制数据，267.109和267.109D都表示十进制数267.109。十进制数的加法运算规则为“逢10进1”。

将十进制数267.109展开为多项式的表示形式：

267.109 = 2 ×102 + 6 ×101 + 7 ×100 + 1 ×10−1 + 0 ×10−2 + 9 ×10−3

（3）八进制数

八进制数是由二进制数按照一定规则转变而来。八进制数的基数为8，系数由0～7间的数字表示。编辑时，在一个数据后写上字母O来表示该数为八进制数据，237.106O即表示八进制数237.106。八进制数的加法运算规则为“逢8进1”。

将八进制数237.106O展开为多项式的表示形式：

237.106O = 2 ×82 + 3 ×81 + 7 ×80 + 1 ×8−1 + 0 ×8−2 + 6 ×8−3

（4）十六进制数

十六进制数也是由二进制数按照一定规则转变而来。十六进制数的基数为16，系数由0～15间的数字表示，但是10～15无法单独用数字表示，因此我们使用系数A、B、C、D、E、F这六个字母一一对应表示10、11、12、13、14、15这六个数。编辑时，在一个数据后写上字母H来表示该数为十六进制数据，9AB.6FH即为十六进制数。十六进制数的加法运算规则为“逢16进1”。

将十六进制数9A5B.6FH展开为多项式的表示形式：

9A5B.6FH=9×163+10×162+5×161+11×160+6×16-1+15×16-2

3.数制之间的转换

逻辑常数只能表示二进制数，但在编辑和书写过程中，还要使用八进制数、十进制数、十六进制数甚至其他进制的数，这就要考虑各种数制数据之间转换的问题。因为我们最常使用和运用熟练的数制是十进制数，所以首先要考虑的是十进制数和其他仸意进制数之间的转换，包括十进制数转换为仸意进制数，仸意进制数转换为十进制数。以十进制数为中介，可以实现仸意进制数之间的转换，可以把一种仸意进制数转换为十进制数，然后再把所得十进制数转换为另一种仸意进制数。而二进制数和八进制数、十六进制数之间有特殊的转换关系，因此它们之间可以直接转换，而不必通过十进制数为转换中介。

综上所述，数值转换主要包括“仸意进制数转换为十进制数”“十进制数转换为仸意进制数”“仸意进制数之间的相互转换”“八进制数、十六进制数转换为二进制数”“二进制数转换为八进制数、十六进制数”5种情况。

（1）仸意进制数转换为十进制数

只要将位权表示法表示的仸意进制数用多项式的形式表示出来，然后按照十进制数的运算规则运算，得到的结果就是十进制的数据。

【例1.3】将数据(1420.32)5，(9AE6.4F)16，(110111.1011)2分别转换为十进制数。

从实例可以看出，仸意进制数转换为十进制数过程中，无论指数运算，还是乘法、加法运算，都是采用十进制数的运算规则进行的。

（2）十进制数转换为仸意进制数

从例1.3来看，仸意进制数都可以表示为多项式的形式，如果把一进制数表示为另一进制数多项式形式，然后用位权表示法就可以把新的进制数表示出来，完成数制的转化。这种转换方法要根据原数据的大小，找出新数制的所有权值，然后计算出每个权值对应系数即可。由于我们对十进制数比较熟悉，所以这种方法非常适合于十进制数转换为仸意进制的数。

以十进制数115为例，把其转换为五进制的数据。首先，找出最大的权值，由于52＜115＜53，所以最大权值为 25，又因为52×4=100＜115＜53，所以该权值对应的系数为4，用115减去100，得到差15，然后分别计算权15和 05的系数分别是3和0，自高位向低位排列，115所转化的五进制数为(430)5。

转换过程首先需要判断新数制数据对应的最大权值，然后自高而低计算所有权值对应的系数，并以多项式的形式进行展示。

115=4×52+3×51+0×50

而对于小数部分，则从第−1位系数开始判别，直到判别出所有系数为止，计算过程和整数求解过程相同。将0.712转换为五进制数，以多项式的形式表示。

0.712=3×5-1+2×5-2+4×5-3

所以，0.712 = (0.324)5。

【例1.4】将十进制数115.625转换为二进制数。

因为26＜115＜27，所以二进制数的最大权值为26。自高而低对权和系数进行计算，可以把115写成二进制数的多项式表示形式。

所以，115.625=(1110011.101)2。

上述数据根据位权表示法计算所得，但对于较大的数据，这种方法的计算过程就显得比较复杂。

观察数值转换的多项式，可以寻找能够通过计算直接获得系数的方法，这种方法称为基数乘除法。假定要转换的数制为R进制数，则要对十进制数N.M的整数部分N和小数部分0.M分开研究，推导出求各位系数的原理。

① 整数部分。不管十进制数整数部分N是多大，假设N转换为R进制数后位数为n位，系数用 ik表示，则数制转换后的多项式可表示为

式中kn-1，kn-2，…，k1，k0是转换后R进制数各位的系数。将等式两边分别除以基数R，得到下式：

其中，余数为k0，是转换的R进制数的最低位，商为kn1 ×Rn-2+kn-2×Rn-3+…+k1×R0。把商再除以基数R，可以得到余数k1和新的商，每次给新商除以一次基数R，都可以得到一位新的余数，直到得到最高位为kn−1，商为0为止。所得余数自高而低排列，按照求解顺序则是倒序排列，就可以得到R进制的数据。所以，对于十进制整数，通过对商除以基数R，逐步获得余数，将余数倒序排列的方法，实现十进制数到R进制数的转换，称为基数除法转换法。根据这种方法，把十进制数19转换为二进制数：

根据计算得出19 = (10011)2。

② 小数部分。

不管十进数小数部分0.M是多大，假设0.M转换为R进制数后位数为m位，系数用ki表示，则数制转换后的多项式可表示为

将上式两边乘以R，得到下式：

乘以R后，第1位小数k−1变为整数，即求出第1位小数，k−2变为第1位小数，把剩下的小数再乘以R，求出k−2，依次求出所有小数位为止。对于十进制小数数据向R进制数据的转换，采用逐步取小数数据乘R，求出整数，然后将整数按照求出顺序排列，最终得到R进制小数的方法，这种方法称为基数除法转换法。根据这种方法，把十进制数 0.375 转换为二进制数：

根据计算得出 0.375 = (0.011)2。

如果小数部分位数是无穷的，要根据要求选择适当的位数。

【例1.5】将235.68转换为五进制数。

①将整数235转换为五进制数，采用基数除法。

②将小数0.68转换为五进制数，采用基数乘法。

通过基数乘除法运算，将十进制数235.68转换为五进制数(1420.32)5。与例1.3作比较，计算的结果是准确的。

（3）仸意进制数之间的相互转换

上述（1）实现了仸意进制数到十进制数的转换，（2）实现了十进制数到仸意进制数之间的转换，所以两种仸意进制数之间的转换，只要把其中一种进制数转换为十进制数，然后再把十进制数转换为另一种进制数即可。

【例1.6】将五进制数(421)5转换为六进制数。

① 将(421)5转换为十进制数。

② 将十进制数转换为六进制数。

所以，(421)5=(303)6。

（4）八进制数、十六进制数转换为二进制数

八进制数最大系数7转换为二进制数时可用3位二进制数111表示，为了表示规则一致，表示位数最少，多位八进制数转化为二进制数时，每位系数只能都转换为3位二进制数，而且必须转换为3位二进制数。同理，十六进制数最大系数F(15)转换为二进制数时用4位二进制数1111表示，多位十六进制数的每位系数转换为二进制数时，只能用四位二进制数而且必须用四位二进制数表示。

【例1.7】将(5210.634)8和(5BE2.1C)16转换为二进制数。

根据上述分析，向二进制数转换，八进制数每位系数必须转换为3位二进制数，十六进制数每位系数必须转换为4位二进制数。所以，两个数转换的结果是：

（5）二进制数转换为八进制数、十六进制数

观察例1.7中由八进制数和十六进制数转换为二进制数的结果，每一个系数可以表示为等长度的二进制数。而等长度的二进制数的排列，是以小数为中心，向两侧各取等长度单位的数字实现的。所以，要把二进制数转换为八进制数，只要以小数点为中心，向两侧各取3位，然后把每3位二进制数转换为八进制数即可。同理，将二进制数转换为十六进制数，同样以小数点为中心，向两侧各取4位，然后把每4位二进制数转换为十六进制数即可。在取数过程中，如果位数不够，则填0补足规定位数，然后再进行数制转换。

【例1.8】将二进制数(10101100010.011111)2转换为八进制数、十六进制数。

① 转换为八进制数。

② 转换为十六进制数。

八进制数和十六进制数之间可以通过二进制数为中介进行转换。下式是转换的实例：

4.二进制数的算术运算

在逻辑表达过程中，数值型数据都是用逻辑常数0、1自高位到低位排列而成。按照有无符号，数值型数据包括无符号数和有符号数两种；按照数据存放的格式，数据分为定点纯整数和定点纯小数。我们主要研究无符号数的加、减、乘、除运算，有符号数的定点纯整数或定点纯小数在逻辑中的表示方法、数据格式及范围、有符号数的运算等。

（1）无符号二进制数的算术运算

无符号数是指数值型数据所有系数全为数据，没有正负数的区分。运算规则采用二进制数的运算规则，加法规则为“逢2进1”，减法规则为“不够减向高位借1变2”。计算过程参照前面所述的五进制数的加、减、乘、除运算。

①无符号二进制数的加法。

加法规则为：0+0=0，0+1=1+0= 1，1+1=10。

计算10110和10100的和：

②无符号二进制数的减法。

减法规则为：1 − 0 = 1，1 − 1 = 0，0 − 0 = 0，10 − 1 = 1，其中被减数要大于减数。

计算1010和0101的差：

③无符号二进制数的乘法运算。

计算1011和1010的积：

由上述运算可以看出，乘法运算是由左移被乘数和加法运算组成。

④无符号二进制数的除法运算。

计算1010和111商和余数：

由上述运算过程可见，除法运算由右移被除数与减数运算组成。

（2）有符号二进制数的表示与运算

在日常生活中，数据有相对立的两种表示形式，例如，多栽了98棵树，可以用+98表示；少栽了15棵树，可以用−15表示。因此，数据表示时一般是分为正数和负数的。在编辑过程中，带有正负号的二进制数称为真值，如+1101.11B，−100010.001B。而在逻辑表达过程中，除了用二进制数表示数据之外，还需要用逻辑常数来表示正号和负号，因符号只有“+”“−”两个，逻辑常数只有“0”“1”两个，两者可以一一对应表示，一般把二进制数的最高位作为符号位，“0”表示为正号，“1”表示为负号。

在逻辑表达数值型数据过程中，可将真值表示为有符号数，一般有原码、反码、补码、移码4种表示形式，数据的位数一般是2i(i>2)位，如8、16、32位等。在数字电路中，有符号数一般是用补码来表示的，因此，我们主要讨论补码的加减运算，并进行数据的溢出判别。在数字电路中表示的有符号二进制数，我们也称为机器数。

机器数包括定点纯整数和定点纯小数，对于较大或位数较多的数据，可以用科学计数法表示。科学计数法表示的数据由定点纯整数和定点纯小数复合而成。

① 原码表示法。

用二进制数“0”和“1”分别表示真值X中的“+”和“−”，数据位保持不变，就得到数据真值对应的原码表示。一般用 8 位二进制数作为表示一个数据的最小单位，称为字节（Byte）。二个字节数据称为一个字（Word），两个字称为双字（DWord）。

如果机器数为 8 位定点纯整数，真值X=+ 1011110B，则[X]原= 01011110B；如果X=−1011110B，则[X]原= 11011110B。

如果机器数为 8 位定点纯小数，X=+0.1011110B，则[X]原= 0.1011110B；如果X=−0.1011110B，则[X]原= 1.1011110B。

同一真值数X，机器数的位数不同，得到的原码长度不同，则原码就不相同。不管机器数位数是多少位，符号位永进处在最高位。

0是一个特殊实例，8位二进制数+0000000B和−0000000B的原码表示如下：

[+0000000]原= 00000000B

[−0000000]原= 10000000B

可以看出，0的原码表示有两种，即有重码。

根据原码表示数据的规律，我们可以得到求解原码的定义：

对上述定义来说，X 为二进制数真值，2n称为机器数的模。“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟中的一小时就是60分钟，这个60分钟就是“模”。“模”实质上是计量器计满数后产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。因此，对于n位定点纯整数来说，它的模是2n；而对于定点纯小数而言，可以把定点纯小数看做定点纯整数，它的模也是2n，求出原码后，再转换为定点纯小数。也可以求定点纯小数的溢出量21，则n为1。

【例1.9】用原码定义求二进制数+1001101B和−0.110110B的8位原码。

因为真值+1001101为正数，所以使用定义[X]原= 2n+X求原码。则：

[+1001101B]原= 28 + 1001101 = 100000000 + 1001101 = 101001101B

计算的结果是9位，而机器数是8位，第9位数据自动舍弃。所以，计算的结果为

[+1001101B]原= 01001101B

而真值−0.110110B为负数，包括符号位在内不足8位，应该在末尾填一个0，然后把8位小数看做8位整数−1101100B，使用定义[X]原= 2n−1 +|X|计算其对应的原码。

[+1001101B]原= 27 +|−1101100B|= 10000000 + 1101100 = 11101100B

将其转换回定点纯小数。

[+0.1001101B]原= 1.1101100B

也可以使用定点纯小数的模来计算，此时n=1，则：

[+0.1001101B]原= 21−1 +|−0.1101100B|= 1.0000000 + 0.1101100 = 1.1101100B

对于定点纯小数，两种计算方法所得结果是相同的，对模的理解要从溢出数据的角度考虑。

②反码表示法。

反码也是表示有符号二进制数的一种机器数，不管是定点纯小数还是定点纯整数，都可以看做定点纯整数，如果机器数的位数为n，真值数为X，2n为机器数的模，则X反码的定义根据正负数的不同而不同，其定义如下：

从定义来看，对于正数来说，反码的定义和原码是相同的，所以，反码就是原码。而对于负数来说，需要根据定义[X]反 = 2n+ X − 1 计算得出反码。试根据定义求二进制数−1001B的8位反码。

[−1001B]反= 100000000 − 1001 − 1 = 11110110B

【例1.10】求二进制数−0.1001B的8位反码。

方法一：以整数的方法求反码。

因小数位只有4位，应该在末尾补3个0，符号位1位，是最低整数位，则可把−0.1001B看做8位整数−1001000B，利用公式[X]反= 2n+X− 1计算得出反码。

[−1001000B]反= 100000000 − 1001000 − 1 = 10110111B

把所求的结果转换为小数的反码。

[−0.1001B]反= 1.0110111B

方法二：以小数的方法求反码。

以小数方法求反码，模是21，公式[X]反= 21 +X− 1中减去的1，是指在小数最末尾减去1，如果小数位为m位，则该位1的大小是2−m。利用该公式求出反码。

[−0.1001B]反= 21 − 0.1001 − 1 = 10.0000000 − 0.1001000 − 0.0000001 = 1.0110111B

通过定义法计算出的反码，我们通过观察，可以得出直接计算的规律。

● 对于正数，反码等于原码。

● 对于负数，在原码的基础上，符号位不变，其他位取反。

二进制纯小数−0.1001B的8位原码是1.1001000B，符号位不变，其他位取反，得到数据为1.0110111B，这与我们根据定义得到的结果是一致的。

③ 补码表示法。

补码是表示有符号数中最常用的一种机器数。用补码表示带符号的二进制数时，符号位与原码、反码相同，即用0表示正，用1表示负；数值位与符号位相关，正数补码的数值位与原码、反码相同。而负数补码的数值位是真值的数值位按位变反，并在最低位加 1。根据其运算规律，对于二进制数真值X，补码的定义表示如下：

[X]补=2n+X

在上式中，2n是数据的模，忽略定点纯小数的小数点，则n可以看做机器数的位数，根据定义计算出补码后，再转换回定点纯小数。如果以小数的方式计算，则模对应的溢出值是21。

对于正数而言，原码、反码、补码定义是相同的，因此原码、反码、补码都等于原码，我们求出原码即可。而对于负数，补码的定义比反码的定义少一个末位1，我们只要在反码机器数末位加一个1，就会得到负数的补码。

【例1.11】用定义法和直接转换法两种方法求二进制数−0110110B与−0.01011B的8位补码。

步骤1：求整数−0110110B的补码。

根据定义[X]补=2n+X求补码，将n= 8，X=−0110110B代入公式中。

[-0110110B]补=28-0110110=100000000-0110110=11001010B

也可以直接进行计算，先求出原码，再转变为反码，最后在末位加1。

[−0110110B]原= 10110110B

[−0110110B]反= 11001001B

[−0110110B]补= [−0110110B]反+ 1 = 11001001 + 1 = 11001010B

两种方法计算的结果是完全相同的。

步骤2：求小数−0.01011B的补码。

首先使用定点纯小数求补码的定义[X]补=21+X求−0.01011B的补码。

[-0.01011B]补=21-0.01011=10.0000000-0.0101100=1.1010100B

接着用整数的定义求补码，将小数−0.01011B看做整数−0101100B，利用定义[X] 28= +补 X

求出补码。

[0101100B]补28= -0101100=1000000000101100=11010100B

将整数的补码转换为小数的补码。

[0.01011B]补=1.1010100B

最后使用直接计算的方法求小数−0.01011B的补码。

[−0.01011B]原= 1.0101100B

[−0.01011B]反= 1.1010011B

[−0.01011B]补= [−0.01011B]反+ 1 = 1.1010011 + 0.0000001 = 1.1010100B

三种方法所求结果完全相同。

④移码表示法。

移码，又叫增码，是符号位取反的补码，一般用做浮点数的补码，引入的目的是为了保证浮点数的机器零为全0。

如果机器数为n位，则移码的定义为

[X]移=2n-1+X

根据移码、补码定义，求二进制数−1011010B的8位移码、补码。

[−1011010B]移= 28−1 − 1011010 = 10000000 − 1011010 = 00100110B

[−1011010B]补= 28 − 1011010 = 100000000 − 1011010 = 10100110B

比较−1011010B移码与补码的数据，发现两者除了符号位相反外，数据位是完全相同的。所以说移码是一种补码。

而对于移码来说，+0和−0的移码是相同的，都是10000000B，使0的有符号数据表示具有了唯一性。

在移码进行加减运算的过程中，因为其符号位参与2次运算后变为补码的符号，需要对符号位进行修正，才能获得移码表示的符号位，其方法只要将结果的符号位变反即可。

⑤机器数表示的数据范围。

用逻辑常数表示的有符号数，它们的位数是有限的，它们所表示的数据大小也在一定的范围之内。这里假定定点纯小数和定点纯整数的位数都是n位，则计算数据范围的方法并不相同。

原码与反码是从真值数转换而来，它们的范围就是n位真值数表示的范围。对于n位定点纯整数表示的真值数，它的最大数是除正号外数字位全为1的数。该位数据的大小为2n−1−1，计算方法是在最末位加1后，得到和为2n−1，然后再减去加上的1，就得到最大的数；而最小的数是负数，是真值数的数据位全为1的数，它的数据大小也是2n−1−1，因此最小数是-(2n-1-1)。所以，对于n位定点纯整数，它的原码和反码表示的数据范围是[-(2n-1-1)，2n−1−1]。

对于n位定点纯小数，小数位为n−1位数据，因此，其最大数据是数据位全为1的正数，在最末位加1（2−(n−1)）后，得到的结果是1，用1减掉加上的数据2−(n−1)，得到的数据1−2−(n−1)就是最大的数值。因此，对于n位定点纯小数，它的原码和反码表示的范围为[−（1−2−(n−1)），1−2−(n−1)]。

而补码与移码的符号位可以参与运算，对于负数而言，符号位可以单独表示一个数字1，因此它的范围应该比原码、反码多了一个临界的最小数−2n−1（针对定点纯整数而言）。因此，n位定点纯整数补码表示的数据范围是[−2n−1，2n−1−1]，而n位定点纯小数补码表示的数据范围是[−1，1−2−(n−1)]。

⑥ 二进制数补码的加减运算及溢出判别。

在数字电路，特别是在微型计算机中，有符号数的加减运算一般都是采用补码运算的。采用补码进行运算，符号位也参与运算，因此无须考虑符号位的变化情况。

假设有两个二进制真值数X和Y，要计算它们在逻辑过程中进行加、减运算的补码数据结果。要实现该计算过程，真值数首先要进入逻辑表达过程，在逻辑过程中的数据是补码表示的，这两个真值数会自动转换为补码表示的数据，得到[X]补和[Y]补。因此，我们要求[X+Y]补和[X−Y]补，就得找出它们和[X]补、[Y]补之间的关系式。

通过分别对定点纯整数和定点纯小数补码运算进行分析和证明，我们可以得到如下的关系表达式：

[X+Y]补= [X]补+ [Y]补

[X−Y]补= [X+ （−Y)]补= [X]补+ [−Y]补

【例1.12】设X = 56，Y = −61，设机器数为8位，求[X + Y]补和[X − Y]补。

分析：提供的数据是十进制数，需转换为8位二进制数，然后将两个二进制数送入逻辑过程，自动转换为8位补码，最后按照公式实现求补码的过程。所以，直接求和、差再求补码的方法，不符合逻辑计算的过程，先计算X、Y及−Y的补码，然后代入公式中进行计算，才和逻辑计算过程相当。

根据十进制数向二进制数的转换过程，X = 56的二进制数是+0111000B，Y = −61的二进制数是−0111101B。分别求56，−61，61的补码。

[X]补= [56]补= 00111000B

[Y]补= [−61]补= 11000011B

[−Y]补= [61]补= 00111101B

将数据代入表达式中：

[X+Y]补= [X]补+ [Y]补= 00111000 + 11000011 = 11111011B

[X−Y]补= [X]补+ [−Y]补= 00111000 + 00111101B = 01110101B

对于上述运算过程，因为计算出的结果位数只能是n位，所以同符号数相加，异符号数相减，得到的结果都有可能达到 n + 1 位，这称为溢出。产生溢出的数据运算，对于实际工作过程毫无意义。因此，在进行补码运算的过程中，我们需要对溢出进行判断。

根据研究，我们得出了溢出发生时存在的条件，就是“最高两位产生的进位如果不相同，则发生溢出现象”。例如，对于8位数据的补码00111000B（56）和01001001B（73）进行补码加法运算，产生的数据超过了127，所以数据发生了溢出现象。通过列竖式可以得到运算过程和进位情况，如下所示：

观察所列竖式，最高两位产生的进位为01，所以这两个补码数相加，产生溢出现象。

⑦浮点机器数的表示与运算。

在逻辑表达中，数值型数据只能用定点纯整数和定点纯小数表示，而对于浮点数数据，我们将如何表示呢？与十进制数的浮点数表示方法相比较，二进制数对应的浮点数也可以采用科学计数法来表示，表示形式如下：

M 2N×

上式中的M称为尾数，是二进制数表示的定点纯小数，以补码形式表示，定点纯小数采用双符号位；N称为阶码，是定点纯整数表示的移码。表示数据时，双符号位在前，阶码和尾数依次排列在后面，数据格式为

某浮点数−0.1010B ×211表示的浮点二进制数为16位，其中双符号位为2位二进制数11B，阶码为7位，采用移码表示；尾数为7位，为定点纯小数，采用补码计算所得，则：阶码采用移码表示：[11]移= 1001011B。

尾数采用补码表示：[−0.1010]尾数= 0110000B。

该浮点数的机器数表示：11 1001011 0110000B。

浮点数的加、减运算过程一般是先进行对阶运算，再把尾数相加减，然后进行数据规格化。而乘除法运算一般先进行阶码加减运算，再进行尾数的补码乘除法运算，然后重新规格化。

1.2.2 非数值型数据的逻辑表示

在数值型数据的表示过程中，无符号数是采用二进制数的位权表示法来表示的，没有明确位数多少的规定。而有符号数除了要约定数据的位数和进制数的位权表示法之外，还要指出符号位与二进制数的一一对应关系。这种对数据位数、数据组成规则作出明确约定的二进制表示形式，称为编码。原码、反码、补码、移码都可以认为是一种编码。

1.编码及编码方法

除了数值型数据之外，其他数据都是非数值型数据，比如一个苹果的照片、发出的声音、键盘的字符、文字等。它们在逻辑表达过程中，要对同类同时出现的信息属性统一进行编码。首先分析同类信息中有多少种不同属性的数据，这些属性可能是控制的条件、反映的状态以及实际的二进制数等，根据每种属性的不同数量确定属性的编码位数。如果某类信息的某种共同属性有N个条件，我们需要n位二进制数来表示它，即对其编码，则N和n应该满足如下条件：

2n-1＜N≤2n

将所有属性对应的编码按一定顺序进行排列，得到的就是整类信息对应的编码。在编码中，寻找所有共同属性的二进制数的编排规则，即编码方法，这是最为重要的。

【例1.13】某地区7所中学举行联合运动会，要求所有学校最多派出15名运动员，请用逻辑常量对运动员进行编码。

分析：确定编码的对象为参加比赛的运动员，目标是对运动员进行编码（编号）。进行编码时，首先要指出运动员属于哪所学校，然后指出运动员是这所学校的第几个运动员，“所在学校”和“本校编号”就是该信息的两种属性。所以对所有运动员进行编码，就是对所有学校和每个学校的所有学生进行编码。因为运动员隶属于某所学校，所以一般把学校编码置于运动员编码之前，则组合的编码格式为

根据上述分析，我们对运动员进行编码，首先要计算出学校编码和运动员编码的位数，然后确定两种编码的数字，最后指出编码如何实现。

（1）计算各种属性编码位数

① 学校编码位数计算。

学校属性是指“运动员属于哪所学校”，应该为每一所学校指定一个编码数字，作为识别的标志。N = 7为参加运动会学校的总数，设学校编码位数为n1，则22= 4< 12n≤23= 8，n1= 3，即至少需要使用3位二进制数来表示运动员所在的学校，而且只能使用3位二进制数表示。能使用3位而不使用更多的二进制数，是为了不增加逻辑问题的复杂性。

② 运动员编码位数计算。

运动员属性是以所有学校最大运动员数量为前提进行属性设置的，运动员的最大数量为15，即编码数量N = 15，设其编码位数为n2，则23= 8< 22n ≤24= 16，n2= 4，应使用4位二进制数为每所学校所有运动员编码。

（2）为各种编码分配数字

学校编码为3位，共有000～111八组二进制数字，而学校只有7所，从其中选择仸意7组二进制数分别指定给这7所学校，共有 78C 8= 种配置方法。这里我们取数字000～110，按照自然顺序编码指定给这7所学校。同理，运动员编码为4位，共有15名运动员，则在0000～1111中仸取15组数字一一对应指定给这些运动员，共有种取法，同样采用自然顺序编码。这些自然顺序码都是从0开始编码的。

（3）编码实现

在为每所学校指定编码数字后，只要知道运动员在本校的编号，运动员的编码数字就被确定下来，编码即被实现。例如，某运动员的编码是101 1100B，表示该运动员是第5所学校的第12名运动员。

2.常用编码

在逻辑表达过程中，常用的编码有：将十进制系数表示为二进制数的二—十进制编码，键盘上所有字符对应的编码——ASCII码，用于电路化简的编码——格雷码等。

（1）二—十进制编码

十进制数是日常生活中常用的数制，在逻辑表达过程中，要对十进数进行表示，就是对0～9之间的10个系数统一进行二进制编码。根据编码规则，10个十进制系数需要4位二进制数对其编码。这种把1位十进数系数转换为4位二进制数表示的编码，称为二—十进制编码，简称BCD（Binary Coded Decimal）码。

4位二进制数共有16种组合，可以从中选择10个编码来表示十进制数的十个系数，根据不同的编码规则，选择的10组编码也不相同。对于经常使用的BCD编码，主要包括有权码和无权码。有权码是指采用位权表示法表示的二—十进制编码，十进制系数可以通过位权表示法计算出来；而无权码的二进制数大小和十进制系数并没有直接的计算关系，是通过编码规则表达的。

有权码主要有8421码、2421码、5421码，名称中的每位数字即为对应位的权值。8421码又称为自然顺序码，它选择4位二进制数的前10组编码0000～1001，按顺序分别指定给十进制系数0～9。2421码和5421码最高位的权分别为2和5，代替了8421码的8，0～4对应的编码最高位系数为0，5～9对应的编码最高位的系数为1。

无权码主要有余3码和余3循环码，全部二进制编码代表一定的含义，但每一位并不表示本位的权值。余3码由8421码加0011得到；余3循环码特点是仸何相邻的两个码字，仅有一位二进制位不同，其他位相同，它是余3码的重新排列。

表1-3列举了常用的几种二—十进制编码，从表中可以看到5种编码的情况。

（2）格雷码

格雷（GRAY）码是相对于自然顺序码而言的，按照一定的规则，针对自然顺序码求出的两个相邻格雷码，仅有1位二进制数字不同。相邻格雷码只有1位二进制数不同，是一种电路设计中简化电路的方法，称为相邻性。相邻编码不同数字的位数称为码距，格雷码的码距为1。在以编码方式传递数据的过程中，相邻的编码码距越小，避免错误编码出错的概率越低。

要通过自然顺序码求出格雷码，首先要了解异或运算的定义和运算方法。当决定事件（F）的条件A、B不同时，事件（F）才发生，这种逻辑运算称为异或运算。异或运算的表达式为

F = A⊕B

在式中，A、B是异或运算的两个条件变量，F是逻辑结果，⊕是异或运算符。根据异或运算的定义，异或运算的运算规则如下：

0⊕0 = 0； 0⊕1 = 1⊕0 = 1； 1⊕1 = 0

根据自然顺序码和格雷码之间的逻辑关系，我们通过逻辑设计可以得出求格雷码的公式。设某n位自然顺序码为Bn1Bn-2…B2B1B0，其对应的格雷码为Gn1Gn-2…G2G1G0，则求格雷码的公式是：

【例1.14】求5位自然顺序码10110B的格雷码。

设5位自然顺序码为B4B3B2B1B0= 10110，格雷码为G4G3G2G1G0，根据求格雷码的公式，列出下列求解过程：

所以，所求5位格雷码为11101B。

根据以上规则，可以得到表1-4所示的3位自然顺序码转格雷码的转换表。

如果已知格雷码，我们也可求出对应的自然顺序码。设n位格雷码为Gn1Gn-2…G2G1G0，所求自然顺序码为Bn1Bn-2…B2B1B0，根据它们之间的逻辑关系，通过逻辑设计，可以得到求自然顺序码的公式。

【例1.15】求5位格雷码11101B对应的自然顺序码。

设5位格雷码为G4G3G2G1G0 = 11101，所求5位自然顺序码是B4B3B2B1B0，根据格雷码转换自然顺序码的公式，计算过程如下：

所以，所求5位自然顺序码是10110B，和例1.14给出的5位自然顺序码是相同的，这证明了自然顺序码和格雷码之间相互转换关系是正确的。

（3）ASCII码

计算机是典型的数字电路系统，常用的字符通过键盘输入计算机中，为了便于识别，需要对键盘上的128个字符统一编码。根据编码规则，27 = 128，共需要7位二进制数b6b5b4b3b2b1b0对其进行编码，这128组二进制数表示十进制数数字字符、英文大小写字母、控制符、运算符及特殊符号等，这种编码称为美国标准信息交换码（American Standard Code for Information Interchange），简称ASCII码。ASCII码30H～39H代表数字字符“0～9”；ASCII码41H～5AH代表大写字母“A～Z”；ASCII码61H～7AH代表小写字母“a～z”；“0A”代表换行符；OD代表回车符等。表1-5列出了所有ASCII码编码值及其对应的符号，而表1-6列出了一些字符表示的具体含义。