第2章 微积分实验

2.1 极限

微积分课程中曾介绍过数列的极限、函数的极限等概念。按照定义，称a为数列 {xn}的极限，如果∀ε>0, ∃N>0，使得当n>N时，总有|xn-a |<ε。数列的极限如果存在，从图2-1上来看，就是点列以一条平行于横轴的直线为渐近线。

函数的极限定义为∀ε>0, ∃δ>0，使得当 |x-x0|<δ时，总有|f（x）-A |<ε，则称A为f（x）在点x0处的极限。函数在某点处的极限如果存在，从图像上来看，就是函数的图像在x=x0处趋于同个y值，如图2-2所示。

根据极限问题的不同，MATLAB中求极限的命令有如表2-1所示的几种。

如果自变量是x，且计算的是x→0时的极限，也可以简单地用limit（f）来表示，即limit（f）=limit（f, x, 0）。实际上，求数列极限也可以视为求函数极限，用同样的命令求得结果。

例2-1 计算函数f（x）=xsin 在x→0时的极限。

我们可以输入如下命令：

    >> syms x；            %定义符号变量
    >> f=x∗sin（1/x）;    %定义函数f
    >> limit（f, x, 0）

输出结果为：

    ans=
        0

为直观起见，现在画出函数f（x）在区间 [-1，1] 上的图形，输入如下命令:

    >> x=-1: 0.01: 1；     %定义一个向量x，起点为-1，终点为1，步长为0. 01
    >> y=x. ∗sin（1. /x）;   %定义与x中每个点对应的y值
    >> plot（ x, y）          %绘图命令

输出结果如图2-3所示。

可以看到，尽管函数在x=0处没有定义，但函数极限确实存在。

例2-2 计算函数f（x）=在x→0时的极限。

我们知道，这时函数的极限不存在。现在输入如下命令，观察函数 f（x）在区间[-1, 1] 上的图形，如图2-4所示：

    >> x=-1: 0.01: 1；
    >> y=sin（1. /x）；
    >> plot（x, y）

由图像可以看出，x→0时，函数始终在0~1震荡，不存在统一的极限。我们也可以尝试用MATLAB来计算其极限，输入如下命令：

    >> syms x；
    >> f=sin（1/x）；
    >> limit（f, x, 0）

输出结果为：

    ans=
         -1 .. 1

这个结果意味着函数并不存在唯一的极限，即函数极限不存在。

例2-3 假设第n个月，某种耐用消费品的市场保有量为x（n），每个月每个用户会影响λ个人购买商品，而且λ会随着总数x（n）的增加而减少。在不考虑其他影响因素的情况下，如何预测x（n）的变化情况？

由于每个月每个用户会影响λ个人购买商品，因此相邻月份的商品保有量会满足等式x（n+1）=x（n）+λx（n）。假设中提到λ会随着总数x（n）的增加而减少，不妨将其设为λ=a-bx，于是得到如下的非线性差分方程：

x（n+1）=x（n）+[a-bx（n）]x（n）

令y=bx，差分方程变成了如下形式：

y（n+1）=[1+a-y（n）]y（n）

这就是离散形式的阻滞增长模型。我们现在的问题是：给定参数a和初始值y（0）, y（n）会有怎样的变化趋势？

编写如下的M文件：

    function y=logistic（y0, a, n）
    y=zeros（n, 1）；                      %设y初始为n维零向量
    y（1）=y0；                           %为y（1）重新赋值为y0
    for i=2: 1: n                          %for循环进行递推计算
    y（i）=y（i-1）∗（1+a-y（i-1））；
    end
    plot（y）

接下来，我们为其中的y0和a选定不同的取值，观察作图的结果。比如令y0=0.1, a=1, 1.8, 2.1, 2.5, n=60，观察图形。

y 0=0.1, a=1, n=60时，y（i）为单增序列，有极限，如图2-5所示。

y 0=0.1, a=1.8, n=60时，y（i）为震荡序列，有极限，如图2-6所示。

y0=0. 1, a=2. 1, n=60时，y（i）为震荡序列，双周期收敛，如图2-7所示。

y0=0. 1, a=2. 5, n=60时，y（i）为震荡序列，多周期收敛，如图2-8所示。

在学习微积分时，我们遇到过很多极限问题，都可以利用MATLAB来算一算，画出图来观察一下，从而获得更为形象的印象。比如两个重要极限，高阶或低阶无穷小、无穷大之间的比较等，这里不再赘述。