第十六章　二次根式

第一节　二次根式的相关概念

学习目标

1. 理解二次根式、最简二次根式、被开方数相同的二次根式的概念.

2. 会确定二次根式有意义的条件.

3. 能根据二次根式的性质对代数式进行简单变形.

知识精讲

1. 二次根式的相关概念.

（1）二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫作二次根式.

注：① 中的a可以是数或式，但a一定是非负数.

② 判断一个式子是否为二次根式，要具备两个特征：一是根指数是2；二是被开方数为非负数.

③ 二次根式有意义的条件：被开方数是非负数.

④ 的含义：表示非负数a的算术平方根.

（2）最简二次根式：满足下列条件的二次根式称为最简二次根式，即被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

注：被开方数中能开得尽方的因数或因式要进行开方.

（3）被开方数相同的二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个最简二次根式就叫作被开方数相同的二次根式.

注：① 将二次根式化成最简二次根式后，看被开方数是否相同.

② 被开方数相同的二次根式只与被开方数和根指数有关，与根号外面的数无关.

2. 二次根式的性质.

（1）（a≥0）是一个非负数.

注：对于二次根式，有两个“非负”：

① 根据二次根式的定义可知a≥0.

② 根据算术平方根的定义，可知≥0.

到目前为止，我们已经学过三类具有非负性的代数式：

Ⅰ：|a|≥0；Ⅱ：a2≥0；Ⅲ：≥0（a≥0）.

若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0. 例如，若a2+|b|+=0，则a=0，b=0，c=0.

（2）=a（a≥0）.

注：公式的逆用为a=（a≥0）. 可以将一个非负数a写成一个二次根式的平方，从而在实数范围内进行因式分解.

（3）

注：化简通常分为两步：①先将它化为|a|；②再根据a的正负去掉绝对值.

（4）积的算术平方根（a≥0, b≥0）.

（5）商的算术平方根（a≥0, b>0）.

（6）若a>b≥0, 则.

注：逆用二次根式的性质进行合理的变形，可以解决一些问题. 例如，比较和的大小，可逆用=a（a≥0）将根号外的整数移到根号内，再比较被开方数的大小.

方法提炼

二次根式比较大小的方法：被开方数法、平方法、估算法、倒数法、作差法、有理化法等.

1. 被开方数法（恒等变形）：当a≥0, b≥0时，若要比较形如与的两数大小，可先把根号外的非负因数a与b平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.

2. 平方法：（1）如果a>b>0，则a2>b2；（2）如果b>a>0，则a2<b2. 这种方法常用于比较无理数的大小.

3. 估算法：若一个非负数a介于另外两个非负数a1、a2之间，即0≤a1<a<a2时，它的算术平方根也介于之间，即0≤.

4. 倒数法：设a、b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当时，a＞b；当，a=b；当时，a＜b”来比较a与b的大小.

5. 作差法：在对两数（或式子）比较大小时，通常考虑作差法：（1）a-b≥0⇔a≥b；（2）a-b≤0⇔a≤b.

6. 分母有理化法：把分母有理化，根据分子的大小来比较大小.

例如：比较2与的大小.

7. 分子有理化法：把分子有理化，根据分母的大小来比较大小.

例如：比较与的大小.

典例精析

例题1. 当x为何值时，下列代数式在实数范围内有意义？

【思路点拨】 此题主要考查二次根式的意义和性质；二次根式中的被开方数必须是非负数.

【解】（1）由6+3x≥0，得x≥-2. 所以当x≥-2时，在实数范围内有意义.

（2）由-x2≥0，且x2≥0，得x=0. 所以当x=0时，在实数范围内有意义.

（3）由于x2+1≥1恒成立，所以无论x取任何实数，在实数范围内都有意义.

（4）由3-x≥0，且，得x<3. 所以当x<3时，在实数范围内有意义.

（5）由x-2≥0，且x-3≠0，得x≥2且x≠3. 所以当x≥2且x≠3时，在实数范围内有意义.

例题2. 化简：

【思路点拨】 先根据=|a|去掉根号，然后利用去绝对值的符号法则化简.

【解】（1）=|-1.5|=1.5；

（2）∵a>3，∴a-3>0. ∴原式=|a-3|=a-3；

（3）∵x＜，∴2x-3<0. ∴原式=|2x-3|=3-2x.

典题精练

1. （1）下列式子一定是二次根式的是（　）.

（2）下列是最简二次根式的是（　）.

（3）下列二次根式中，与的被开方数相同的二次根式是（　）.

2. 若为二次根式，则m的取值范围为（　）.

A. m≤2

B. m＜2

C. m≥2

D. m＞2

3. 把根号外的因式移到根号内，得（　）.

4. 已知x＜2，化简（　）.

A. x-2

B. x+2

C. -x-2

D. 2-x

5. 若+（1+y）2=0，则x2+y2=____.

6. 比较：.

7. 当x, a, b分别为何值时，下列各式为二次根式.

8. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三边为x，化简：.

9. 已知数a，b，c在数轴上的位置如图16-1-1所示，化简：.

10. 观察下列各式：

（1）请你写出第6个式子____.

（2）请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来，并说明理由.

中考真题链接

真题1. （辽宁丹东）若有意义，则实数x的取值范围是____.

真题2. （甘肃白银）已知x、y为实数，且，则x-y=____.