1.2 行列式的定义

首先我们考虑用消元法求解二元一次方程组和三元一次方程组，从中引出二阶和三阶行列式的定义. 然后把这些定义推广，得到n阶行列式的定义.

1.2.1 二阶行列式

考察二元线性方程组：

其中b1,b2是常数，a11,a12,a21,a22是未知量的系数，可简单记为aij（i,j=1,2）. aij有两个下标i,j. aij为第i个方程第j个未知量xj的系数. 例如a21就是第二个方程中第一个未知量x1的系数. 这里的线性是指方程组中未知量xj的次数都是一次的.

现在采用消元法求解方程组（1.2.1），为了消去x2，用a22乘第一个方程，a12乘第二个方程，得

然后两方程相减，得到只含有x1的方程

为了消去x1，用a21乘第一个方程，a11乘第二个方程，得

然后两方程相减，得到只含有x2的方程

由式（1.2.2）和式（1.2.3）可知，若

D=a11a22-a12a21≠0，

则方程组（1.2.1）有唯一解

由式（1.2.4）给出的x1与x2的表达式，分母都是D，它仅依赖于方程组（1.2.1）的4个系数。为了便于记住D的表达式，我们引进二阶行列式的概念.

定义1.2.1　把

称为二阶行列式.

它含有两行，两列. 横写的称为行，竖写的称为列. 行列式中的数aij（i,j=1,2）称为行列式的元素，i表示aij所在的行数，j表示aij所在的列数. aij表示位于行列式第i行第j列的元素. 例如，a12表示位于行列式第1行第2列的元素.

二阶行列式表示一个数，其值为2！项的代数和：一个是在从左上角到右下角的对角线（又称为行列式的主对角线）上的两个元素的乘积，取正号；另一个是从右上角到左下角的对角线上的两个元素的乘积，取负号. 例如

其中a11=1,a12=2,a21=-3,a22=5. 又如

其中a11=x+y,a12=x,a21=x,a22=x-y. 

根据定义1.2.1，我们容易得知式（1.2.4）中两个分子可以分别写成

如果我们记

那么当D≠0时，方程组（1.2.1）有唯一解，而且这唯一解可以表示为

其中D是由方程组（1.2.1）的系数确定的二阶行列式，与右端常数项无关，故称D为方程组（1.2.1）的系数行列式.

D1是把D中的第一列（x1的系数）a11,a12换成常数项b1,b2，D2是把D中的第二列（x2的系数） a21,a22换成常数项b1,b2. 这样求解二元一次方程组就归结为求三个二阶行列式的值. 像这样用行列式来表示解的形式简便且容易记忆.

例1　计算行列式

解

例2　用行列式解线性方程组

解　因为系数行列式

所以方程组有唯一解. 又

所以方程组的唯一解是

1.2.2 三阶行列式

对于含有三个未知量x1,x2,x3的线性方程组

也可以用消元法求解. 为了求得x1，需要消去x2和x3. 消元过程可以分两步进行.

第一步从方程组（1.2.5）的前两个方程和后两个方程中消去x3，得到含有x1和x2的线性方程组，即

第二步再消去x2，得到

若x1的系数不为零，则得到

其中

同理可得

其中

与解二元线性方程组一样，称D为方程组（1.2.5）的系数行列式，D1,D2,D3分别是用常数列来替换D中的第一列、第二列、第三列的系数得到的. 这样我们得到了三阶行列式.

定义1.2.2　把

称为三阶行列式.

三阶行列式的值是3！项的代数和，每一项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积再附上正负号，三项附正号，三项附负号.

我们可以用对角线法则来记忆三阶行列式中每一项及前面的正、负号. 如图1.2.1所示，其中各实线连接的三个元素的乘积前面带有正号，各虚线连接的三个元素的乘积前面带有负号.

例3　利用三阶行列式定义计算出行列式的值

解　由三阶行列式的定义得

D=（-2）×3×1+1×0×0+2×2×5-2×3×0-1×2×1-（-2）×0×5=12.

由三阶行列式的定义可看出，每一项都可表示成

其中行标形成了一个三阶自然排列（1 2 3），列标形成了一个三阶排列（j1j2j3）. 再看每一项前面所带的符号与该列标所成排列的奇偶性的关系. 在式（1.2.6）中，第一、二、三项列标所形成的排列分别为（1 2 3），（2 3 1），（3 1 2），它们都是偶排列，这三项前面都带正号；第四、五、六项列标所形成的排列恰相反，都是奇排列，前面都是负号. 于是式（1.2.7）中的项应带符号.因此式（1.2.6）又可写成

其中表示列标形成的三阶排列（j1j2j3）要取遍所有的三阶排列求和.

同样地，二阶行列式也可写成

这样，二阶、三阶行列式的定义形式已一致了. 推广二阶、三阶行列式的定义形式，可以给出n阶行列式的定义.

1.2.3 n阶行列式

定义1.2.3　由n2个数组成n行n列的n阶行列式定义为

其中表示列标形成的n阶排列（j1j2…jn）要取遍所有的n阶排列求和，共有n!项.

特别地，约定一阶行列式为|a11|=a11.

综上所述，n阶行列式定义的代数和具有以下三项特点.

（1）有n!项相加，其最后结果是一个数值；

（2）每项有n个数相乘，而每个数取自不同行不同列；

（3）每项的符号由列标排列（j1j2…jn）的奇偶性决定，即符号是，且在n!项中，一半符号为正，一半符号为负.

例4　计算行列式

这种主对角线（从左上角到右下角的一条对角线）上方的元素全为零的行列式称为下三角行列式.

解　只需把n!项中不为零的项找出来，求代数和即可. 根据定义1.2.3，从第一行开始，只有取j1=1的项可能不为零，再取第二行元素，根据不同列的要求，只有取j2=2的项可能不为零，依次往下类推得

即下三角行列式的值等于主对角线元素的乘积.

类似地，上三角行列式和对角行列式也有同样的结论：

显然，若下（上）三角或对角行列式的主对角上的元素有零元素，则该行列式的值为零.

例如，

又如，

例5　计算n阶反对角行列式

解　只需把n!项中不为零的项找出来，求代数和即可. 根据定义1.2.3，从第一行开始，只有取j1=n的项可能不为零，再取第二行元素，根据不同列的要求，只有取j2=n-1的项可能不为零，依次往下类推只剩下一项可能不为零：a1na2,n-1an1=d1d2…dn，其前边的符号为，即

类似地，反上三角行列式和反下三角行列式也有同样的结论成立：