命题I.30

平行于同一直线的两条直线相互平行。

设：线段AB、CD平行于ΕF。

求证：AB也平行于CD。

令：直线GK与它们相交。因为：GK与平行线AB、ΕF相交，∠AGK等于∠GHF（命题I.29）。

又因为，直线GK和平行线ΕF、CD相交，∠GHF等于∠GKD（命题I.29）。

而∠AGK也被证明等于∠GHF，所以：∠AGK也等于∠GKD（公理I.1）。且它们是内错角，所以AB平行于CD。

所以：平行于同一直线的两条直线相互平行。

证完

注解

本命题假设了三条线段位于同一平面内，命题XI.9则是三条线不在一个平面内。

现代综合几何学中，普勒菲尔公理代替了欧几里得的平行公设，该公理陈述，过已知点的一条已知直线至多有一条平行线。

欧几里得的《几何原本》是人类历史上最优美的科学著作之一。刺激我们兴趣的不是那些图形，而是概念——那些相互连接的概念，以及欧几里得所呈现的这些概念及它们的连接方式。《几何原本》的数学优雅，还在于它的简洁与清晰品性，使读者阅读容易、轻松。

对欧几里得批评最多的是平行公设，即I.5公设，其定义含混，没有简洁的品性。本命题也是简洁的，普勒菲尔公理则更为简洁，可以替代I.5公设。

本命题应用在命题I.45和命题IV.7中。