第2章 概率论基础知识及其在MATLAB中的实现
2.1 随机事件和概率
2.1.1 排列组合初步
1.排列组合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数.
从m个人中挑出n个人进行组合的可能数.
2.加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事有两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成.
3.乘法原理（两个步骤共同完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由m×n种方法来完成.
4.一些常见排列
（1）特殊排列；
相邻；
彼此隔开；
顺序一定和不可分辨.
（2）重复排列和非重复排列（有序）；
（3）对立事件；
（4）顺序问题.
2.1.2 随机试验、随机事件及其运算
1.随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行多次，且每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前不能断言出现哪个结果，则称这种试验为随机试验.试验的可能结果称为随机事件.
2.事件的关系与运算
（1）关系
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分（事件A发生必有事件B发生）：A⊂B；
如果同时有A⊂B，B⊃A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B；
A、B中至少有一个发生的事件：A∪B，或者A+B；
A、B同时发生：A∩B，或者AB.A∩B=∅，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥，基本事件是互不相容的；
属于A但不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件；
Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A.它表示A不发生的事件（互斥未必对立）.
（2）运算：
结合律：A（BC）=（AB）CA∪（B∪C）=（A∪B）∪C；
分配律：（AB）∪C=（A∪C）∩（B∪C）；（A∪B）∩C=（AC）∪（BC）；
德·摩根律：
.
2.1.3 概率的定义和性质
1.概率的公理化定义
设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P（A），若满足下列三个条件：
1）0≤P（A）≤1；
2）P（Ω）=1；
3）对于两两互不相容的事件A1，A2，…，有
常称为可列（完全）可加性.
2.古典概型（等可能概型）
1）Ω={ω1，ω2，…，ωn}；
2）
.
设任一事件A，它是由ω1，ω2，…，ωm组成的，则有
2.1.4 五大公式（加法公式、减法公式、条件概率和乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）
1.加法公式
P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），
当P（AB）=0时，P（A+B）=P（A）+P（B）；
2.减法公式
P（A-B）=P（A）-P（AB），
当B⊂A时，P（A-B）=P（A）-P（B）；
当A=Ω时，
；
3.条件概率和乘法公式
设A、B是两个事件，且P（A）>0，则称
为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为
.
由于条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率.
例如
，
乘法公式：P（AB）=P（A）P（B|A），
更一般地，对事件A1，A2，…，An，若P（A1A2…An-1）>0，则有
P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1A2…An-1）；
4.全概率公式
设事件B1，B2，…，Bn满足
1）B1，B2，…，Bn两两互不相容，P（Bi）>0（i=1，2，…，n）；
2）
；
则有
P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P（A|Bn）.
此公式称为全概率公式.
5.贝叶斯公式
设事件B1，B2，…，Bn及A满足
1）B1，B2，…，Bn两两互不相容，P（Bi）＞0（i=1，2，…，n）；
2）
；
则
此公式称为贝叶斯公式.P（Bi）＞0（i=1，2，…，n），通常称为先验概率.P（Bi|A）（i=1，2，…，n）通常称为后验概率.如果我们把A当做观察的“结果”，而B1，B2，…，Bn理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果溯因”的推断.
2.1.5 事件的独立性和伯努利试验
1.两个事件的独立性
设事件A、B满足P（AB）=P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是显然成立的）.
若事件A、B相互独立，且P（A）＞0，则有
所以这与我们所理解的独立性是一致的.
若事件A、B相互独立，则可得到
与B、A与
、
与
也都相互独立.
2.多个事件的独立性
设A、B、C是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P（AB）=P（A）P（B）；P（BC）=P（B）P（C）；P（CA）=P（C）P（A）
并且同时满足P（ABC）=P（A）P（B）P（C）
那么A、B、C相互独立，对于n个事件有类似的性质.
3.伯努利试验
我们做了n次试验，且满足
1）每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；
2）n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；
3）每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的.
这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验.
用p表示每次试验A发生的概率，则
发生的概率为1-p=q，用pn（k）表示n重伯努利试验中A出现k（0≤k≤n）次的概率，则
Pn（k）=Cknpkqn-k，k=1，2，…，n.