小集团
分析集团大小与集团中的个人行为之间的关系是相当困难的，其部分原因是一个集团里的每个人对他所属集团追求的集体物品可能抱有不同的价值观。而且每个寻求集体物品的集团都面对着一个不同的成本函数。然而在每种情况下都不变的是，总成本函数会上升，因为集体物品肯定和非集体物品一样，取得越多，总成本越高。而且毋庸置疑，在任何情况下都存在着相当的初始成本或固定成本。有时一个集团必须建立一个组织形式，然后才能获得集体物品，这样建立组织的成本就会使第一批集体物品的价格相对较高。而且即使不需要组织或协调，公共物品本身的规模和其他技术特性也会使第一批公共物品的价格高得出奇。任何集团也肯定会发觉，当它的需求超过了一定程度而被认为“过分”时，增加额外的集体物品所遇到的阻力和增加的成本都会不成比例地上升。简而言之，成本（C）是获得集体物品的比率或水平（T）的一个函数（C=f（T）），平均成本曲线为传统的U形。
有一点立即就清楚了。如果有一定量的集体物品，获得它的成本远远低于它所带来的利益，相关集团中的某一个人即使全部由他自身单独提供这一物品也能从中获益，这样就可以假设这种集体物品会被提供。因此，总收益会大大超过总成本，即使是某一个人分享的收益也会超过总成本。
个人能够分享一个集团的总收益，其份额取决于集团的人数以及与集团中的其他人相比他能够从那一物品获益多少。集团总收益取决于获得集团物品的比率或水平（T），以及集团的“规模”（Sg）。集团的“规模”不仅取决于集团中的人数，也取决于某一集体物品对集团中每个人的价值。这可以用一个游说降低财产税的财产所有者集团加以简单的说明。集团总收益取决于集团的“规模”（Sg），即对所有集团财产的总估价，以及以每一美元的财产估价计算的纳税折扣的比率或水平（T）。集团的个人成员获得的收益取决于他占集团收益的份额（Fi）。
集团收益（SgT）作为对集团的“价值”可被称作Vg，个人收益作为对个人的价值可被称作Vi。“份额”就等于Vi/Vg，个人收益就等于FiSgT。任一个人i得到任一数量的集体或集团物品而获得的好处（Ai）等于个人的收益（Vi）减去成本（C）。
一个集团做什么取决于集团中的个人做什么，而个人做什么又取决于他们采取其他行为的相对好处。既然已经把相关参数分离了出来，那首先应该考虑的是个人购买不同数量的集体物品的收益或损失。这取决于个人的好处（Ai=Vi-C）随T变化而变化的方式，即取决于
【noindent】dAi/dT的最大值为0。【40】由于Vi=FiSgT，且Fi和Sg现在已被设定为常数，【41】
【noindent】这表明单独行动的个人会购买的集体物品的数量。可以赋予这一结果一般的、常识性的意义。由于在下式成立时可以找到最优点
【noindent】且由于dVi/dT=Fi（dVg/dT）
【noindent】这意味着当集团收益率乘以个人得到的集团收益的份额等于集体物品总成本的增加率时，个人得到的集体物品数量最优。换句话说，集团收益率（dVg/dT）必须超过成本增加率（dC/dT），其倍数等于集团收益超过个人收益的倍数（1/Fi=Vg/Vi）。【42】
但最重要的并不是会提供多少集体物品，而是是否会提供任何集体物品。而且显然，在单独行动的个人达到最优点时，如果Fi＞C/Vg，那么就会提供集体或集团物品。
【noindent】因为如果
【noindent】那么
【noindent】这样，如果Fi＞C/Vg，个人的收益就会超过成本。这意味着存在以下假设，即当集团中的任何个人达到最优点时，集体物品的成本与集团从集体物品获得的收益相比是如此微不足道，以至于总收益超过总成本的倍数大于或至少等于集团收益超过个人收益的倍数，这时就会提供集体物品。
概括起来说，存在一个假设，即提供集体物品的条件为，集团从集体物品获得的收益以提供那一物品的总成本的增加比率的1/Fi倍增加[即，当dVg/dT=1/Fi（dC/dT）时]，集团总收益与物品的成本之比要大于集团收益与个人收益之比（即Vg/C＞Vg/Vi）。
上述模型中基本概念的普遍适用性可以通过市场中的企业集团来检验。考虑一个生产同类产品的产业，并假设其中的企业都独立地寻求利润最大化。简便起见，还假设生产的边际成本为零。为了避免增加新的符号，也为了说明前述分析的普遍性，假设现在T代表价格，Sg代表集团或产业的销售额，Si代表企业i的大小或销售额。Fi仍然代表个别企业或集团成员占总销售额的“份额”，它现在代表了在任一给定时刻企业i占总的集团或产业销售的份额：Fi=Si/Sg。价格T会影响产业的销售量，其程度由需求弹性E给出。弹性E=-T/Sg（dSg/dT），由此可以得到需求曲线斜率dSg/dT的一个方便的表达式：dSg/dT=-ESg/T。在不增加生产成本的条件下，一个企业达到最优产量的条件为：
【noindent】这里因为假设企业都独立行动，即不指望其他企业会有什么反应，dSi=dSg，所以
【noindent】且由于dSg/dT=-ESg/T，
这只有在Fi=E时才成立。只有当对产业的需求弹性小于或等于某一特定企业占产业产量的份额时，那一企业才会受到激励限制产量。一家正在决定是否限制产量以促成更高价格的企业会对放弃产量造成的成本和损失与它能从“集体物品”——更高的价格获得的收益加以权衡。需求弹性是对此进行衡量的标准。如果Fi等于E，这意味着对产业的需求弹性等于这一企业占产业产量的比例：如果需求弹性为1/4，这意味着产量减少1%，价格就会上升4%。显然，如果一家企业占产业总产量1/4的话，它就会停止增加产量，或限制其产量。如果一个产业中有1000家相同规模的企业，那么对产业产品的需求弹性要小于或等于1/1000才会有企业对产量加以限制。所以在一个包含大量企业的产业中达到均衡并不会带来什么利润。一家寻求利润最大化的企业限制其产量，即采取与产业总体利益相一致的行为的条件是：在提供更多的T时（更高的价格），集团收益增加的比率为限制产量导致的总成本增加比率的1/Fi倍。这个标准对于早先解释过的重视集团利益的行为的更一般的例子来说也是同样适用的。
这个对市场的分析和古诺（A.A.Cournot）的理论是相同的。【43】这不足为奇，因为古诺的理论实际上是关于集团成员的利益和集团总体利益两者关系的一般理论的一个特例。古诺的理论可被看作是这里所作分析的一个特例。这样他的理论就被浓缩为一个常识性的陈述，即只有当维持价格的总成本低于企业从更高的价格能获取的收益时，企业才会采取行动以维持产业产品的价格。与对市场外的集团行为进行的分析一样，古诺理论寻求的是在何时集团中的个体增进集团总体利益才符合其个体利益。
古诺的例子在一个方面要比本书主要关注的市场外的集团情况简单。当一个集团寻求一件普通的集体物品而非通过限制产量得到一个较高的价格时，正如本节首段所述，它会发觉得到的第一批集体物品的单价要高于其后的物品价格。这是由集体物品的规模和其他技术特性造成的，也是因为有时候需要创立一个组织以获得这一集体物品。这提醒人们要注意以下事实，即一个非市场集团中的个体必须考虑两个不同问题。一个问题是他提供一定量的集体物品而得到的总收益是否超过他为提供那一定量的物品而付出的成本。另一个问题是如果他愿意提供集体物品的话，那又该提供多少，答案当然取决于边际成本和边际收益之间的关系，而非总成本和总收益之间的关系。
同样，集团作为一个整体也必须回答两个不同的问题。知道一个小集团是否会为自己提供集体物品还不够；也同样需要决定如果一个小集团得到了一定量的集体物品，其数量对整个集团来说是否是帕累托最优。即，集团的收益会不会被最大化？作为整体的一个集团如果得到了一定量的集体物品，其数量达到最优的条件为：集团收益和集体物品成本以相同的速率增加，即dVg/dT=dC/dT。因为如前文表明，集团中的每一个人会受到激励提供更多的集体物品，直到Fi（dVg/dT）=dC/dT。由于∑Fi=1，乍看起来个体成员独立行动提供的集体物品的总和就是集团的最优量。而且集团中的每一个人会承担总负担或总成本的一定份额Fi，这样，提供集体物品的负担就能以“正确”的方式加以分配，即以相同的比例分配成本和收益。
但事实并非如此。一般说来，集体物品的供给远没有达到最优水平，对负担的分配也是十分专断的。这是因为某一个人获得的集体物品也自动地为其他人享有。这是从集体物品的定义得出的，即某一个人不可能排除他人享用他为自己提供的集体物品所带来的收益。【44】这意味着一旦集团中的个人可以获得具有最大Fi值的一定量的集体物品，他就不会受到独立的激励去提供任何集体物品。这也说明，正如在大集团中存在着什么集体物品也提供不了的倾向一样，在小集团中存在着只能提供低于最优水平的集体物品的倾向。离最优水平越远，集团中“最大的”个体的Fi值就越小。由于在其他条件相同时，集团中个体数量越多，Fi就越小，所以集团中的个体数量越大，离最优水平就越远。显然，成员数目多的集团的效率一般要低于成员数目少的集团。
然而，只考虑集团中个体或单位的数目是不够的，因为集团任何成员的Fi不仅取决于集团中个体成员的数量，还取决于个体成员的“规模”（Si），即他从一定水平的集体物品供给中的获益程度。比起只有一间小屋的人来，一个拥有巨额地产的人能从财产税减免中省下更多的钱，在其他条件相同下其Fi值也更大。【45】一个由Si不等因而Fi也不等的成员组成的集团，其偏离最优水平的倾向要小于由相同大小的成员组成的类似的集团（而且也更有可能为自己提供一定数量的集体物品）。
由于没有人受到激励提供更多的集体物品，一旦具有最大Fi值的成员获得了他想要的数量后，在一个小集团中对提供公共物品的负担进行的分配与集体物品带来的利益也不成比例。具有最大Fi值的成员会不成比例地承担成本。【46】对于具有共同利益的小集团，存在着少数“剥削”【47】多数的倾向！
对集体物品感兴趣的小集团的行为有时候十分复杂——比前面段落中说明的要复杂得多。【48】存在着某些制度安排和行为假设，它们并不一定会导致前文描述的偏离最优水平和不成比例。想对提供集体物品偏离最优水平的倾向以及对提供它们的成本不成比例的负担进行充分分析的话，那对本书来说就太长了，因为本书主要关心的是大集团，引入小集团只是为了比较和对照。小集团寻求集体物品的问题在理论【49】和实践中都具有一定重要性，而且还未得到充分的重视。因此在我将要发表的文章中将就此进行更细致的分析。在本节“非技术性概述”部分中我列举了几个特例，可以用小集团和小组织这个方法进行研究。
通过集团成员自发的和独立的行为提供最优水平的集体物品，其必要条件说起来却是十分简单的。对额外的集体物品的边际成本进行分担的比例必须与对额外收益进行分配的比例完全相同。只有在做到这一点后，每个成员才会发现他本人的边际成本与边际收益之比等于总边际成本与总边际收益之比。如果边际成本是以任何别的方法进行分担的，那提供的集体物品的量就会低于最优水平。【50】乍看上去，既然有些成本分担会导致低于最优水平的集体物品供给，那么就会有其他成本分担方法会导致超过最优水平的物品供给；但情况并非如此。在自愿参加的任何集团中，如果某些成员对边际成本的分担超过了他们对边际收益的分享，那么在集团最优水平达到之前，他们就会停止寻求集体物品，而且除了集团中的每一成员以与分享增量收益完全相同的比例分担边际成本这种成本分担安排之外，不存在别的安排，其中某一成员的边际成本小于他对边际收益的分享。【51】
尽管对即使是最小的集团也存在着集体物品的供给量低于最优水平的倾向（除非他们按照刚才描述的方式分担边际成本），但请记住的更重要的一点是，某些足够小的集团能够通过一个或多个成员自发和理性的行动提供给自己一定量的集体物品。在这一点上它们和真正的大集团是截然不同的。为了确定一个给定的集团是否会自发地提供给自己公共物品，需要先确定两件事。第一，必须找出每个个体如要购买集体物品，其最优数量是多少；这由Fi（dVg/dT）=dC/dT给出。【52】第二，必须确定在达到个人最优数量时，集团中的成员是否会发现集团从集体物品获得的收益超过总成本的量要大于它超过成员从集体物品获得的个人收益的量，即是否Fi＞C/Vg。这一论点可以更简单地说成，如果在购买集体物品的任一水平上，集团收益超过总成本的量要大于它超过任一个体收益的量，那么就可以假设会提供集体物品，因为个体的收益超过了为集团提供集体物品的成本。这可用附图加以说明，只要个体提供了集体物品，不管他提供的数量是V或是W或任何中间一个数，他都会得到好处。如果得到了任何在V和W之间的一定量的集体物品，即使对个体来说这不是最优数量，Fi也会超过C/Vg。
本节的非技术性概述
本节技术分析部分表明，某些小集团不用靠强制或任何集体物品以外的正面的诱因就会给自己提供集体物品。【53】这是因为某些小集团中的每个成员，或至少其中的一个成员，会发现他从集体物品获得的个人收益超过了提供一定量集体物品的总成本；有些成员即使必须承担提供集体物品的所有成本，他们得到的好处也要比不提供集体物品时来得多。在这种情况下就可以假定会提供集体物品。这种情况存在的条件为，集团从集体物品获得的收益超过总成本的量要大于它超过一个或更多的个体收益的量。所以，在一个很小的集团中，由于成员数目很小，每个成员都可以得到总收益的相当大的一部分。这样，集体物品就常常可以通过集团成员自发、自利的行为提供。在存在着相当程度的不平等的小集团中——即在成员的“规模”不等或对集体物品的兴趣不等的集团中，集体物品最有可能被提供；因为某个成员对集体物品的兴趣越大，他能获得的集体物品带来的收益的份额就越大，即使他不得不承担全部的成本，他也会提供这种集体物品。
然而，即使在最小的集团里，集体物品的提供一般也不会达到最优水平。就是说，集团成员不会以符合他们公共利益的水平来提供集体物品。只有某些特定的制度安排会激励个体成员购买一定量的集体物品，其数量之和最符合集团的整体利益。造成这一低于最优水平的倾向的原因是，根据集体物品的定义，一旦集团中的任一个体为自己提供了集体物品，就不可能把集团中的其他成员排除在对这种集体物品的享用之外。由于一个个体成员这样只能获得他为获取更多的集体物品而支出的费用所带来的部分利益，他在达到对集团整体来说是最优数量之前就会停止购买集体物品。另外，一个集团成员从他人那里免费得到的集体物品会进一步降低他自己支付成本来提供那一物品的动力。因此，集团越大，它提供的集体物品的数量就会越低于最优数量。
在由大小或对集体物品的兴趣相差悬殊的成员组成的集团中，这一低于最优水平或低效率的倾向就没有这么严重。在这类不平等的集团中，存在着专断地分派提供集体物品的负担的倾向。最大的成员，即会单独提供最大数量的集体物品的成员，其分担提供集体物品负担的份额与其收益相比是不成比例的。根据定义，小成员占他提供的集体物品所带来的收益的份额小于大成员，因此他就缺乏激励来提供额外的集体物品。一个小成员一旦免费地从最大的成员那里获取一定量的集体物品，就已经比他自己能购买的要多了，所以他就根本不会受到激励自己出钱去获取任何集体物品。因此在抱有共同利益的小集团中，存在着少数“剥削”多数的令人惊讶的倾向。
认为小集团提供给它们自己的集体物品的数量会低于最优水平，对提供集体物品的成本的分配是专断的和不成比例的，这一论点并不是在所有逻辑上可能的情况下都成立的。某些制度或程序的安排会导致不同的结果。这一题目不是简单地就能分析清楚的。由于这个原因，而且因为本书的重点是大集团，所以在此就忽略了小集团行为的许多复杂性。然而，刚才简述的论点可以非常贴切地解释一些重大的实际情况，而且可以使人们认识到对上述论点更细致的分析可以帮助解释为什么存在大国要不成比例地分担多国组织，如联合国和北约组织的经费这一明显的倾向，还可以解释为什么在小国家中盛行中立。这些分析还能解释为什么总有人抱怨说国际组织和联盟没有被给予足够（最优）数量的资源。【54】它还能说明，在大城市的两个地方政府提供能为两个或更多的地方人民带来好处的集体物品时（如道路和交通），其数量总是不充足的，而且最大的地方政府（如代表市中心的区）总要不成比例地承担提供这些物品的费用。【55】最后，对前文所述的类型的分析还能帮助我们认识价格领导现象，尤其是对产业中最大企业可能存有的不利之处。
然而，在此关于小集团最重要的一点是，小集团能够做到为自己提供集体物品可能仅仅是因为集体物品对个体成员产生了吸引。在这一点上，小集团和大集团是不同的。就大集团而言，其获得的任何集体物品的数量离最优水平越远，它就越不可能采取行动去获取哪怕是最小数量的这类物品。简而言之，集团越大，就越不可能去增进它的共同利益。