第2章　控制系统的数学模型

2.1　复习笔记

一、控制系统的时域数学模型

1．建立控制系统微分方程的步骤

（1）由系统原理图画出系统方块图，分别列写组成系统各元件的微分方程；

（2）消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量关系的微分方程。

注意：①信号传递的单向性；②后级元件对前级元件的负载效应。

2．线性系统的基本特性

（1）叠加性：对于一个的系统，若满足，则称系统具有叠加性。

（2）齐次性：对于一个的系统，若满足，则称系统具有齐次性。

同时满足齐次性和叠加性的系统称线性系统。

3．线性定常微分方程的求解——拉氏变换法

（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项分别进行拉氏变换，将微分方程转换成变量为s的代数方程。

（2）求解代数方程，得到输出量拉氏变换函数的表达式。

（3）对输出量拉氏变换表达式进行反变换，得到时域表达式，即为所求微分方程的解。

4．非线性微分方程的线性化

常用切线法或小偏差法，其实质是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线来代替。

5．运动的模态

如果n阶微分方程的特征根是，，…，且无重根，则把函数的，，…，称为该微分方程所描述运动的模态，又称振型。如果特征根中有多重根，则模态会具有形如，，…的函数；如果特征根中有共轭复根，则有模态，。

二、控制系统的复数域数学模型

1．传递函数及其性质

线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。数学表达式为

性质：

（1）传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质：，且所有的系数均为实数。

（2）传递函数表示输出量与输入量之间的关系，只与系统（或元件）本身和结构参数有关，而与输入信号无关，也不反映系统内部的任何信息。

（3）传递函数与微分方程具有相通性。

（4）传递函数的拉氏反变换是单位脉冲响应，反映系统的运动特性。

2．传递函数的零点和极点

传递函数的分子多项式和分母多项式因式分解后可得到如下形式

式中，为传递函数的零点；为传递函数的极点；系数称为传递系数或根轨迹增益。

3．传递函数的零极点对输出的影响

（1）传递函数的极点就是系统微分方程的特征根，决定了系统的模态。

（2）传递函数的零点、极点和增益共同确定每一项（指数项、指数振荡项、常数项）的系数大小。

三、控制系统的结构图与信号流图

1．系统结构图的组成

控制系统的结构图由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含四种基本单元：信号线、引出点、比较点和方框。

2．结构图的等效变换和化简

（1）串联

图2-1-1　方框串联连接及其简化

（2）并联

图2-1-2　方框并联连接及其简化

（3）反馈

图2-1-3　方框反馈连接及其简化

（4）比较点和引出点的移动

①注意在移动前后必须保持信号的等效性，而且比较点和引出点一般不宜交换其位置；

②“-”号可以沿信号线越过方框，但不可越过比较点和引出点。

3．信号流图

（1）源节点（输入节点）：只有输出支路的节点。

（2）阱节点（输出节点）：只有输入支路的节点。

（3）混合节点：既有输出支路，又有输入支路的节点。

（4）前向通道：从源节点到阱节点之间，与每个节点仅相交一次的通道。

（5）回路：起于并终于同一节点，且与其他任何节点相交不多于一次的闭合通道。

（6）不接触回路：相互之间无公共节点的回路。

4．梅森增益公式

设系统的传递函数为，则梅森增益公式表示为

式中，为总增益；为前向通路数；为第k条前向通路增益；为信号流图的特征式，；为第k条前向通路对应的余因子式，是特征式中与第k条通路不接触的部分。

5．闭环系统的传递函数

一个典型的反馈控制系统的结构图如图2-1-4所示。

图2-1-4　反馈控制系统的典型结构图

闭环系统在输入信号和扰动作用下，以为输出量时的系统传递函数，称为闭环传递函数。

（1）输入信号作用下的闭环传递函数

输入信号作用下，即，时，有

（2）扰动作用下的闭环传递函数

扰动信号作用下，即，时，有

（3）输入和扰动同时作用下的闭环传递函数

输入信号和扰动信号同时作用下，系统的输出量为

（4）闭环系统的误差传递函数

闭环系统在输入信号和扰动作用下，以误差信号作为输出量时的传递函数称为误差传递函数。