第7章 成本最小化和成本函数
1．某技术公司生产各种计算机软件，其生产函数为
，其中，
是非熟练工人数，
是熟练工人数。
（1）如果不用非熟练工人，需要多少熟练工人来完成
单位的生产任务？
（2）如果熟练工人与非熟练工人的工资相等，要生产20单位产品，该公司雇用多少熟练工人和非熟练工人？
（3）如果两种工人的工资分别为
，写出生产单位产品的成本函数。
解：（1）不用非熟练工人，生产函数为：
。因此需要
个熟练工人来完成单位的生产任务。
（2）工资相等的情况下，公司全部使用熟练工人所付出的成本最小，也就是说，公司雇用10个熟练工人，而不雇用非熟练工人。
（3）生产单位产品的成本函数为：
或 
2．已知生产函数为
，两种投入的价格为
，
。写出生产单位产品的成本函数。
解：因为两种投入品是互补的，因此
，所以生产单位产品的成本函数为：
。
3．如果生产函数为
，
和
的价格均为1，那么最小成本的
比是多少？
解：当生产成本最小时，生产投入的边际技术替代率等于价格比，即：
解得：
。
4．对于上述的生产函数，设和的价格分别为
和
，写出该产品的长期成本函数。如果已有固定资本，写出其短期成本函数。
解：当生产成本最小时，生产投入的边际技术替代率等于价格比：
由此解出最优投入组合：
， 
长期成本函数为：
短期，已有固定资本，对劳动投入需求为
，短期成本函数为
。
5．已知生产函数为
。
（1）分别画出生产4单位、5单位产品的等产量线。
（2）该生产技术的规模报酬如何？
（3）如果、的价格分别为、，写出生产单位产品的成本函数
。
解：（1）等产量线如图7-3所示。
图7-3 等产量线
（2）设
，
，因此该生产技术的规模报酬不变。
（3）因为两种投入为1:1完全互补品，所以
。生产单位产品的成本函数为：
6．已知生产函数为
。
（1）画一些等产量线。
（2）如果、的价格为、，写出生产单位产品的成本函数。
解：（1）两种投入为完全替代品，等产量线如图7-4所示。
图7-4 等产量线
（2）成本最小化问题可以表达为：
构造拉格朗日函数为：
根据最小化的一阶条件可得：
。
根据约束条件可得：
代入成本方程：
。
当
时，只投入，成本为
；当
时，只投入，成本为
。
因此生产单位产品的成本函数为：
7．柯布—道格拉斯生产函数为
，
，
，如果投入要素的价格为，，写出成本函数
。当
，
时，边际成本是递减还是递增的，请讨论。
解：生产函数为，则两种投入的边际产出为：
，
。根据边际技术替代率等于价格之比可得：
。
又因为，代入可得：
，
。成本函数为：
从而可得：
当
时，
，从而
，边际成本递增；当
时，
，从而
，边际成本递减。
8．某公司决定购买一套食品加工设备。一套设备的最大加工能力为200吨，另一套为500吨。两套设备的价格分别为20万元和50万元。据估计，如果设备的最大加工能力为
吨，那么生产吨副食品的可变成本为
万元。
（1）如果购置加工能力为200吨的设备，写出该厂的边际成本函数和平均成本函数？产量为多少时，平均成本最低？最低平均成本是多少？
（2）如果购置加工能力为500吨的设备，上述各问题的答案如何？
解：（1）如果购置加工能力为200吨的设备，总成本函数为：
。
因此边际成本函数为：
。
平均成本函数为：
。
平均成本最低时，边际成本等于平均成本，即
。由此可得：
（吨），
（万元）。
（2）如果购置加工能力为500吨的设备，总成本函数为：
。
因此边际成本函数为：
。
平均成本函数为：
。
平均成本最低时，边际成本等于平均成本，即
。由此可得：
（吨），（万元）。
9．某企业的成本函数为
，为多大时平均成本最低？最低平均成本是多少？在该生产水平，边际成本是多少？
解：已知，平均成本函数为：
。
令
，得
，则此时平均成本最低，
。边际成本
。
10．霓裳公司生产时装，其生产要素是设计师和裁缝师，生产函数为
，其中
和分别为雇用的设计师和裁缝师人数。
（1）短期内，该公司只有100个设计师，其工资为2000元，而裁缝师则可任意雇用，工资为1000元。短期内，为生产套服装，该公司将雇用多少裁缝师？
（2）写出该公司短期的总成本函数。
（3）长期而言，两种投入要素都可以任意调节。如此，要生产一套服装，该雇用多少设计师，多少裁缝师？
（4）生产套服装的
的比例与生产一套服装的一样吗？
（5）写出该公司的长期成本函数。
解：（1），
，因此公司将雇佣裁缝师：
。
（2）设
为设计师工资，
为裁缝师工资，短期内的成本函数为：
。
（3）生产一套服装，则
。
成本最小化表示为：
构造拉格朗日函数为：
根据成本最小化的一阶条件解得：
。
所需设计师人数
，所需裁缝师人数
。
（4）生产套服装，则，根据拉格朗日方法解得：。因此生产套和1套服装的是一样的。
（5）根据（4）中的结果，在长期生产套服装所需的设计师和裁缝师为：
，
。因此长期成本函数为：
。
11．试证明当边际成本等于平均成本时，平均成本达到最小值。
证明：边际成本曲线和平均成本曲线之间的关系为：
由于
，所以当
时，平均成本曲线的斜率为负，
曲线是下降的；当
时，曲线的斜率为正，曲线是上升的；当
时，曲线的斜率为零，曲线达到极小值点。