§2　几何空间的线性结构

几何空间V是空间中所有的点组成的集合.取一个点O，以O为起点的向量称为定位向量.所有定位向量组成的集合与V有一个一一对应对应于终点M.于是V也可以看成由所有定位向量组成的集合.由于向经过平行移动得到的向量相等，因此V也可以看成由所有向量组成的集合，其中经过平行移动得到的向量是相等的向量.V中的向量有加法和数量乘法运算，这使得几何空间V有一个很好的结构.

2.1　向量和点的仿射坐标、直角坐标

定理2.1　几何空间V中任意给定三个不共面的向量d1，d2，d3，则任意一个向量m可以唯一表示成d1，d2，d3的线性组合.

证明　可表性　取一点O，作分别表示d1，d2，d3，m.

过M作一直线与OA3平行，且与OA1和OA2决定的平面交于N.过N作一直线与OA2平行，并且与OA1交于P（如图1.11）.因为与d1共线，与d2共线，与d3

共线，所以分别存在实数x,y，z，使得

从而

唯一性　若

则得

（x-x1）d1+（y-y1）d2+（z-z1）d3=0.

因为d1，d2，d3不共面，所以

x-x1=y-y1=z-z1=0，

即

x=x1，y=y1，z=z1.

定理2.1给出了几何空间V的线性结构，即只要给出了V中三个不共面的向量，那么V中所有向量就了如指掌了.

定义2.1　几何空间V中任意三个有次序的不共面向量d1，d2，d3称为V的一个基.对于几何空间中任一向量m，若

m=xd1+yd2+zd3，

则把三元有序实数组（x,y，z）称为m在基d1，d2，d3下的坐标，记作

向量有了坐标后，我们再对空间中的点也引进坐标.

定义2.2　几何空间中一个点O和一个基d1，d2，d3合在一起称为几何空间的一个仿射标架或仿射坐标系，记作[O；d1，d2，d3]，其

中O称为原点.对于几何空间中任意一点M，把它的定位向在

基d1，d2，d3下的坐标称为点M在仿射标架[O；d1，d2，d2]中的坐标.

由定义2.2知，点M在[O；d1，d2，d3]中的坐标为（x,y，z）T的充分必要条件是

以后我们把向量m在基d1，d2，d3下的坐标也称为m在仿射标架[O；d1，d2，d3]中的坐标.

几何空间中取定了一个仿射标架后，由定理2.1知，几何空间中全体向量的集合与全体有序三元实数组的集合之间就建立了一一对应；通过定位向量，几何空间中全体点的集合与全体有序三元实数组的集合之间也建立了一一对应.

设[O；d1，d2，d3]为几何空间的一个仿射标架，过原点O，且分别以d1，d2，d3为方向的有向直线分别称为x轴，y轴，z轴，统称为坐标轴.由每两根坐标轴决定的平面称为坐标平面，它们分别为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面.坐标平面把空间分成八个部分，称为八个卦限（如图1.12）.在每个卦限内，点的坐标的符号是不变的（如表1-1）.

表　1-1

将右手四指（拇指除外）从x轴方向弯向y轴方向（转角小于π），如果拇指所指的方向与z轴方向在Oxy平面同侧，则称此坐标系为右手坐标系，简称右手系；否则，称为左手坐标系，简称左手系（如图1.13）.

定义2.3　如果e1，e2，e3两两垂直，并且它们都是单位向量，则[O；e1，e2，e3]称为一个直角标架或直角坐标系.

若e1，e2，e3两两垂直，则它们一定不共面，因此直角标架是特殊的仿射标架.

点（或向量）在直角坐标系中的坐标称为它的直角坐标，在仿射坐标系中的坐标称为它的仿射坐标.

类似地，可讨论平面上的仿射坐标系和直角坐标系.

运用几何空间的线性结构，可以解决三点共线、线段的定比分点和三线共点等问题.

2.2　用坐标做向量的线性运算

取定仿射标架[O；d1，d2，d3]，设a的坐标是（a1，a2，a3）T，b的坐标是（b1，b2，b3）T，则

所以a+b的坐标是（a1+b1，a2+b2，a3+b3）T.这说明，向量和的坐标等于对应坐标的和.

对于任意实数λ，有

所以λa的坐标是（λa1，λa2，λa3）T.这说明，a乘以实数λ，则它的坐标就都乘上同一个实数λ.

由上述得：a-b的坐标是（a1-b1，a2-b2，a3-b3）T.

定理2.2　向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标.

证明　对于向设A,B的坐标分别是（x1，y1，z1）T，

（x2，y2，z2）T，它们也分别是的坐标.因为所以的坐标是（x2-x1，y2-y1，z2-z1）T.

点M的坐标是它的定位向的坐标；向量的坐标等于其终点坐标减去其起点坐标.这两句话表明了点的坐标与向量的坐标之间的关系.

2.3　三点（或两向量）共线的条件

命题2.1　设平面上两个向量a,b的坐标分别为（a1，a2）T，（b1，b2）T，则a与b共线的充分必要条件是

证明　必要性　设a与b共线.若a≠0，则存在实数λ，使得b=λa，从而b1=λa1，b2=λa2.于是

若a=0，则

充分性　设.若a≠0，则不妨设a1≠0.于是有又因此从而b与a共线.

若a=0，则b与a共线.

命题2.2　在三个点A,B，C所在的平面上取一个仿射标架[O；d1，d2]，设A,B，C的坐标分别是

（x1，y1）T，（x2，y2）T，（x3，y3）T，

则三点A,B，C共线的充分必要条件是

证明　利用命题2.1得

三点A,B，C共线

其中最后一个等号由3阶行列式的第3列分别加到第1列和第2列上，行列式的值不变而得到.

命题2.3　设两向量a,b在空间仿射标架[O；d1，d2，d3]中的坐标分别是（a1，a2，a3）T，（b1，b2，b3）T，则a与b共线的充分必要条件是

证明　必要性　设a与b共线.假如a=0，则（2.1）式显然成立.下面设a≠0，于是有实数k，使得b=ka.所以

bi=kai，i=1，2，3，

从而

同理，（2.1）式中的其余两个行列式也为零.

充分性　设（2.1）式成立.如果a,b中有一个为0，则结论显然成立.下面设a≠0，b≠0.不妨设a1≠0（a2≠0的情况可类似讨论）.令q则b1=ka1，从而

于是b2=ka2.因为

所以b3=ka3.于是有

（b1，b2，b3）=（ka1，ka2，ka3），

从而得b=ka.因此a与b共线.

2.4　线段的定比分点

对于线段AB（A≠B），如果点C满则称点分线段AB成定比λ.当λ＞0时，同向，点C是线段AB内部的点，称C为内分点；当λ＜0时，反向，C是线段AB外部的点，称C为外分点；当λ=0时，点C与点A重合.假如λ=-1，则得即矛盾.所以λ≠-1.

命题2.4　设A,B的坐标分别是（x1，y1，z1）T，（x2，y2，z2）T，则分线段AB成定比λ（λ≠-1）的分点C的坐标是

证明　设点C的坐标是（x,y，z）T.用坐标写出就是

解得

推论2.1　设A,B的坐标分别为（x1，y1，z1）T，（x2，y2，z2）T，则线段AB的中点的坐标为

例2.1　用坐标法证明：四面体对棱中点的连线交于一点.

证明　设四面体ABCD的棱AB,AC,AD,BC,CD,DB的中点分别是B′，C′，D′，E,F，G（如图1.14）.

取仿射标架则各点坐标分别为A（0，0，0）T，B（1，0，0）T，C（0，1，0）T，D（0，0，1）T，B′（1/2，0，0）T

设B′F与D′E交于点M（x,y，z）T，并设

则M的坐标为

解得l=1，k=1，从而M的坐标为的坐标分别由于

因此根据命题2.3得共线，于是点M在C′G上，从而B′F,D′E,C′G交于一点M.

注　此题在写出各点坐标后，也可以先求出各连线的中点坐标：B′F的中点坐标为，D′E的中点坐标为TT

，C′G的中点坐标为这说明点是B′F，

D′E,C′G的公共点，从而得证.

在用坐标法解决问题时，一定要注意针对问题的特点选取合适的坐标系.

命题2.2可以用来解决平面上三点共线的判定问题.

例2.2（门内劳斯（Menelaus）定理）设点P,Q，R分别分△ABC的边AB,BC,CA成定比λ，μ，ν，如图1.15所示，证明：

三点P,Q，R共线⇔λμν=-1.

证明　取平面仿射标，点A,B，C的坐标分别为（0，0）T，（1，0）T，（0，1）T.

根据命题2.4，点P,Q，R的坐标分别为

根据命题2.2，有

三点P,Q，R共线

⇔λμν=-1.

三线共点的问题可以转化为三点共线的问题.

例2.3（切瓦（Ceva）定理）设点P,Q，R分别内分△ABC的边AB,BC,CA成定比λ，μ，ν，如图1.16所示，证明：

三线AQ,BR,CP共点⇔λμν=1.

证明　取平面仿射标，点A,B，C的坐标分别（0，0）T，（1，0）T，（0，1）T；点P,Q，R的坐标分别为

设AQ与BR相交于点M（x,y）T，且点M分别分线段AQ,BR成定比k,l，则

将上述两个式子相除（即考虑x/y），得

于是l=μ（1+ν）.因此

由于μ＞0，ν＞0，因此1+μ（1+ν）≠0，从而

三线AQ,BR,CP共点

⇔三点C,M，P共线

⇔λμν=1.

利用三线共点的判定定理（切瓦定理）可以简捷地证明三角形三条中线相交于一点.证明留给读者，作为本节习题的第11题.

习题　1.2

1.在一个仿射坐标系中画出下列各点：

P（1，3，4）T，Q（-1，1，3）T，M（-1，-2，-3）T.

2.给定直角坐标系，设点M的坐标为（x,y，z）T，求它分别对于Oxy平面，x轴和原点的对称点的坐标.

3.设平行四边形ABCD的对角线交于点M，且有

取仿射标，求点M,P，Q的坐标以及向的坐标.

4.对于平行四边形ABCD，求A,D，在仿射标架中的坐标.

5.设ABCDEF为正六边形，求各顶点以及向在仿标架中坐标.

6.已是以原点O为顶点的平行六面体的三条棱，求此平行六面体过点O的对角线与平面ABC的交点M在仿射标架[O；d1，d2，d3]中的坐标.

7.设向量a,b，c的坐标分别是（1，5，2）T，（0，-3，4）T，（-2，3，-1）T，求下列向量的坐标：

（1）2a-b+c；（2）-3a+2b+4c.

8.已知平行四边形ABCD中顶点A,B，C的坐标分别为（1，0，2）T，（0，3，-1）T，（2，-1，3）T，求点D和对角线交点M的坐标.

9.下列各组的三个向量a,b，c是否共面？能否将c表示成a,b的线性组合？若能表示，则写出表示式.

（1）a（5，2，1）T，b（-1，4，2）T，c（-1，-1，5）T；

（2）a（6，4，2）T，b（-9，6，3）T，c（-3，6，3）T；

（3）a（1，2，-3）T，b（-2，-4，6）T，c（1，0，5）T.

10.设点C分线段AB成5：2，点A的坐标为（3，7，4）T，点C的坐标为（8，2，3）T，求点B的坐标.

11.用切瓦定理证明：△ABC的三条中线交于一点.若点A,B，C的坐标分别为（x1，y1，z1）T，（x2，y2，z2）T，（x3，y3，z3）T，求△ABC的重心的坐标.

12.证明：三角形的三条角平分线相交于一点.