§2　曲面的定向与第二型曲面积分

2.a问题的提出

我们通过一个实际问题，引出第二型曲面积分的概念.设流体在空间某区域Ω内流动，并设这流动是稳定的——这就是说，在Ω中任意一点（x, y，z）观察，流经该点的流体质点的速度不随时间而改变.这样，速度ν只是点（x, y，z）的函数

设S是Ω中的一块曲面.我们希望计算在单位时间内从曲面S的一侧流向另一侧的流体的量.请注意，流量与曲面S的定向有关，即与我们指定曲面S的哪一侧为正侧有关.从负侧流向正侧的流体的量算作正的，而从正侧流向负侧的流体的量算作负的.

为了计算流量，我们在曲面S上任取一块微小的面积元如，并把这面积元的法线上指向正侧的单位向量记为n.于是，在单位

时间内，通过这曲面微元的流体的量为

——请参看图16-1.因而，在单位时间内，通过曲面S的流体总量为

用分量来表示，设

则有

我们把形状如

的曲面积分叫做第二型曲面积分.请注意，虽然上式写成第一型曲面积分的形式，但因为被积表达式含有曲面的方向数COSα，cosβ和cosγ（即曲面正侧单位法向量的分量），所以这积分与曲面的定向有关.如果改变曲面的定向，把原来的负侧当做正则，那么所有的方向系数都改变符号，整个积分就改变符号.我们强调指出：第二型曲面积分是一种有向的积分.

2.b曲面的定向

在正式叙述第二型曲面积分的定义之前，需要对曲面的定向作一些说明.

首先，我们指出，任何正则简单曲面都是可定向的.事实上，设

是一块正则简单曲面.因为

所以曲面S在各点有确定的法线，两向量

都是法线上的单位向量.我们可以指定其中一个方向为正方向，例如可以指定

的指向为法线的正方向.当参数对（u，υ）连续变化时，这样指定的正法向单位向量也连续变化，不会突然转到相反的方向上去.我们约定把曲面正法线指向的一侧叫做正侧，相反的一侧叫做负侧.于是曲面S明确地分出正负两侧来——这样的曲面叫双侧曲面.

对于非简单的正则参数曲面，如果仍按照上面所说的方法去确定正法线向量或者正侧，就有可能遇到麻烦.因为很可能存在两对参数（u1，υ1）和（u2，υ2），它们对应着曲面上的同一点，而在该点的两法向量

具有相反的指向.

下面，我们介绍不可定向曲面的一个非常有名的例子——牟比乌斯（Möbius）带.

考查一条细长的矩形纸带AA'B'B（图16-2）.

我们设想把这纸带弯曲并把A'B'片AB与这两端粘合起来.这时可以有两种情形.

情形1　A'B'与按同一方向粘合（A'与A粘合，B'与B粘合）.这种情形粘合所成的曲面可以看成一个圆柱体的侧面.很容易说明这曲面是可定向的.因为我们可以把从圆柱体内穿过侧面向外的方向，规定为法线的正方向.

情形2　纸带AA'B'B在弯曲的过程中同时扭转，A'B'扭了180°再与BA粘合CA'B'与按相反方向粘合，A'与B'粘合，B'与A粘合）·这样粘合所成的曲面，被称为牟比乌斯带（图16-3）.下面，我们将说明：牟比乌斯带是不可定向的.

事实上，按照上述构造办法，矩形ABB'A两端的中点C'与C互相粘合，因而原矩形的中位线CC'粘成了一个闭圈.如果让点P沿着闭圈CC'在牟比乌斯带上绕行一周，在绕行过程中保持单位法线向量连续变化，那么不论我们在出发时指定怎样一个单位法线向量作为正方向，当我们绕行一周再回到出发点时，连续变化的单位法线向量必定指向相反的方向（参看图16-4）.

我们设法写出圆柱面与牟比乌斯带的参数方程.对于上述两种情形，实施粘合手续的时候，矩形AA'B'B的中位线CC'总是粘合成一个闭圈.设这闭圈在OXYZ坐标系中的方程是

设是垂直于这圆周的线段

情形1中的圆柱面，可以看作是由线段AB沿圆周CC'平行移动生成的.据此，我们写出这圆柱面的参数方程

在情形2中，线段沿圆周CC'移动，同时绕中点扭转，在环行一周过程中总共扭转180°.据此，我们写出牟比乌斯带的参数方程

利用参数方程，可以通过计算验证我们在上面的讨论中借助于几何直观说明的事实.——对两种情形，分别考查

就能揭示圆柱面与牟比乌斯带在定向问题上的差异.具体的计算与讨论留给读者作为练习.

我们常常会遇到那种由若干块连续可微曲面“拼接”而成的曲面——例如像正方体的表面那样的曲面.对“拼接曲面”的定向问题，需要作一些说明.

（a）在平面R2上，由一条连续并且是分段连续可微的简单闭曲线所围成的闭区域，被称为初等区域.

（b）定义在初等区域上的正则简单参数曲面块被称为初等曲面.

（c）对于给定的有限块初等曲面，如果其中任意两块至多只相交于边界上的一段曲线，任意三块（或更多的块）至多只相交于边界上的一点，那么我们就说这有限块初等曲面是规则相处的.由规则相处的有限块初等曲面组成的曲面，被称为拼接曲面.

前面说过，正则简单参数曲面总是可以定向的.每一块初等曲面E当然都可以定向.E的定向按照以下法则在其边界曲线əE上诱导出一个定向.

（d）诱导定向法则：在曲面E的正侧沿边界曲线的正方向前进，E应该始终在əE的左方.

（e）设E1和E2是规则相处的两块初等曲面，并设这两块曲面各自选定了正向.对以下两种情形，我们都说E1的定向与E2的定向是协调的：或者E1与E2无公共边界曲线（至多只能有一个公共边界点）；或者E1与E2在公共边界曲线上所诱导的定向正好相反.

（f）对于拼接曲面S，如果能给组成它的每一块初等曲面选择一个正向，使得任意两块初等曲面的定向都是协调的，那么我们就说这拼接曲面S是可定向的.我们还约定，把协调选择的各初等曲面块的正向（正侧），看作是拼接曲面S的正向（正侧）.

下面，我们通过具体的例子来说明拼接曲面的定向.

例1　考查正方体的表面C.如果我们选择各面块向外的法线方向为正方向，那么这些面块的定向是协调的（参看图16-5）.因而C可以定向.

例2　圆柱体的侧面L可以看成由三块初等曲面拼接而成的.这三块初等曲面可以协调定向，因而——如我们已经知道的——圆柱面L是可定向的（参看图16-6）.

例3　牟比乌斯带M也可以看成是由三块初等曲面拼接而成的，但这三块初等曲面不可能协调地定向.——这符合我们已经知道的事实：牟比乌斯带是不可定向的（请参看图16-7）.

2.C第二型曲面积分的定义

设S是R3中的可定向正则曲面.如果指定了S的正法线单位向量

那么也就指定了这曲面的正侧.S的正侧通常记为+S或S+.我们还约定把同一曲面的相反一侧记为-S或请注意，像+S与-S这样的记号完全是相对的.我们先指定可定向曲面S的任何一侧作为+S，另外一侧就成为-S.为了书写简单，有时候也就把+S省略地写做S.

设S是如上所述的指定了正侧的曲面，并设f（M）=f（x,y，Z）是在S上有定义并且连续的函数.我们约定把

叫做函数f沿曲面S的正侧对y z坐标的曲面积分，并约定将这积分记为

按照定义，积分（2.1）是以下和数的极限：

这里的cosα（Mi）σ（Si）是微小的有向曲面块Si在OYZ坐标平面上的投影的（有向）面积.——这就是我们采用记号dyΛdz的理由.类似地，我们可以定义函数f沿曲面S的正侧对zx坐标与对xy坐标的曲面积分：

以上这些对坐标的曲面积分，统称为第二型曲面积分.为了书写简便，有时候也将dyΛdz,dzΛdx和dxΛdy等记号省略地写做dydz,dzdx和dxdy例如，积分（2.1）可以记为

在不致于混淆的情况下甚至可以更简单地记为

在许多实际问题中，常常会遇到以下形状的和：

例如，在2.a段中，我们把流量的计算归结为以下形状的积分

我们约定把（2.4）简单地记为

或者更简单地写成

如果+S的法线单位向量选为

那么-S的法线单位向量就是

我们看到

也就是

这说明第二型曲面积分是一种有向的积分：如果改变曲面的定向，那么积分就改变符号.

记号dyΛdz表示OYZ坐标平面上的有向面积元.我们约定以OX轴的指向为面积元dyΛdz的正法线方向，即约定以i作为面积元dyΛdz的正法线单位向量.我们还约定：记号dzΛdy表示以-i为正法线单位向量的同一块面积元，因而

对于面积兀dzΛdx与dxΛdz,dxΛdy与dyΛdx，也有类似的约定：

于是，我们约定

如果S是可定向的拼接曲面，那么沿+S的第二型曲面积分，就定义为同一被积表示式沿各曲面块正侧的积分之和.

对于可定向的闭曲面，人们常采用带圈的积分号.例如

一积分号上所加的“圈”，用以强调这里积分所展布的曲面是可定向的“闭”曲面.

2.d第二型曲面积分的计算

我们来考查正则简单曲面

这曲面的单位法线向量为

其中

根据第二型曲面积分的定义，我们有

这里的±号须根据曲面的定向来选取.如果在（2.6）式中选取+号来表示曲面S的正法线方向，那么这里也应选取+号.反之亦然.

于是，我们把第二型曲面积分归结为参数区域上的二重积分：

一般地，我们有计算公式

以上各式右边的P,Q，R分别表示

记号A,B，C的定义如前：

各式右边积分号前的±号，要根据曲面的定向来选取.

显式表示的曲面

可以看成是以（x,y）为参数的曲面.对这情形有

于是，第二型曲面积分的计算公式可以写成

如果那么计算就特别简单：

这些计算公式右边积分号前的±号，要根据曲面的定向来选取.如果以曲面S的上侧为正侧（即要求正法线方向与OZ轴的正方向夹角为锐角：cosγ＞0），那么在这些公式中就应选取正号.如果以曲面S的下侧为正侧，那么在这些公式中就应选取负号.

例4　试计算积分

这里s是球面x2+y2+z2=a2的外侧.

解　球面S的外法线单位向量表示为

因而

例5　试计算与上例类似的积分

这里Γ是如下的长方体的表面，约定以外侧为正侧：

解　长方体的外表面Γ由六块侧面Γ1，Γ2，……，Γ6拼接而成，这里

在侧面Γ1上，n=（1，0，0），x=a，因而

同样可得

最后，我们得到

例6　试计算积分

这里Λ是以下椭球面的外侧：

解　我们引入椭球面Λ的参数表示：

计算得

于是有

在上面几例中，我们看到，积分

正好等于闭曲面s所围的体积.这实际上是一个普遍成立的事实.我们将在后面给予证明.

例7　试计算

这里S是球面x2+y2+z2=a2的外侧·

解　类似于例4中的做法，我们求得

利用球面S关于原点的对称性，很容易看出上式右端的三个积分都等于0，因而

例8　试计算

这里Γ是以下长方体的外表面：

解　仿照例5中的做法，我们求得

例9　试计算积分

这里Λ是以下椭球面的外侧：

解　我们把N分成三项

先来计算

如同例6中那样引入椭球面Λ的参数表示，我们求得

根据同样的道理，应该有

于是得到

例1　0设Δ是以（1，0，0），（0，1，0）和（0，0，1）为顶点的三角形面的上侧，试计算

解　曲面Δ可以用显式方程表示为

这里

计算偏导数得

于是得到

用同样办法可以计算J：