2.2　简单的优化方法建模

当决策者要在要在许多可供选择的策略中作出抉择、选出最佳的策略时，这类问题称为优化问题。描述优化问题的数学模型称为优化模型。优化问题是人们在社会生活、生产实践以及科学研究过程中经常遇到的问题。

有很多解决优化问题的方法，比如凭借经验或者是通过做大量的实验来探索最优的方案，但是凭借经验的方法虽然风险较小，但是主观性太强，结果也未必是最优的，而实验的方法需要消耗大量人力与资源，所得结果也会受到实验条件的影响。另外，最优化方法作为数学学科的应用性较强的分支之一，在解决最优化问题方面，也发挥了其强大的作用。最优化方法包含的范围非常广泛，涉及的知识面也较宽，在后面的章节中会有专门的讨论。

本节主要介绍较简单的优化模型的建立、分析与求解的过程，涉及的主要是微积分学中的函数极值理论与方法。其基本步骤是针对研究的问题，首先确定优化的目标与限制条件，其次通过适当的简化假设并应用数学工具建立模型，最后使用微积分方法对模型求解并且进行必要的分析与检验。

2.2.1　步长的选择

人们每天都在行走，排除以运动健身为目的的走路方式，而仅仅考虑距离固定，以节省体力为最终目的的行走，那么选择多大的步长才最省力？试建立数学模型进行说明。

（1）模型分析

人在走路时所做的功等于抬高人体重心所需的势能与两腿运动所需的动能之和。在给定速度时，可以以单位时间内做功最小，即消耗能量最小为目标建立优化模型，并且确定出最优的走路步长。

（2）模型假设与符号约定

人体分为躯体和下肢两部分，假设躯体以匀速前进，而把下肢看作长度固定的刚体棒。

Δ：人每走一步时，躯体重心移动的垂直距离。

θ：两脚着地时与竖直方向的夹角。

m：人体的质量，常量。

m'：人行走时产生动能的“折合质量”，常量。

s：人行走时的固定步长。

n：人在单位时间内行走的步数。

v：人走路的速度（匀速），常量。

l：人的腿长，常量。

Ep：表示单位时间内消耗的势能。

Ek：表示单位时间内消耗的动能。

g：表示重力加速度，常量。

（3）模型建立与求解

如图2.7所示，可知给定l和θ后，一个人每走一步其躯体重心移动的垂直距离为

Δ=l-OM=l-lcosθ=l（1-cosθ）

而人行走时的固定步长s=2lsinθ，故可得人行走的速度为v=ns。

同时又因为总的垂直方向的移动高度为

所以可以得到单位时间内消耗的势能为

　　 （2.14） 　　

另一方面，人在走路时，腿的速度不断变化，动能消耗应与v2成正比，所以总的动能消耗为

其中折合质量m'的数值可以通过实验测出，在实际应用时可以近似成每条腿的质量。将前面结果代入后有

　　 （2.15） 　　

将势能与动能相加后，可得总能量消耗为

　　 （2.16） 　　

为了使能量消耗最小，利用微分法，令一阶导数为0，可得

　　 化简之后得到 　　

又根据三角公式 　　

将其代入后得

（2mgl+m'v2）cosθ=2mgl

此时有两脚着地时与竖直方向的夹角θ的余弦为

　　 （2.17） 　　

故可得人行走时的最优步长为

　　 （2.18） 　　

（4）模型的数值验证

最后通过一个数值例子对结果进行验证，假设某人质量为m=65kg，腿长为l=1m，一条腿的质量为m'=12kg，走路的速度v=1.5m/s，运用上述模型则有

此时的最优行走步长为 　　

而一秒钟内行走的步数为

可以看出所得结果基本上是符合实际情况的，也可以尝试多取几组数据加以比较，进一步验证了模型的可行性。

（5）模型的讨论

由该问题的建模过程可以看出，在确定了建模目的之后，需要对模型简化假设。一般地，并不需要面面俱到地涉及所有相关量，往往只需考虑几个主要量，尽快建立起对应模型，只要模型符合人们的认识规律即可。尤其对初学者，这样做有助于增强建模信心。而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了。另外为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要。

2.2.2　实物交换与消费者的选择

（1）实物交换问题

实物交换是人类发展史上一种重要的交易方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实物交换问题可以出现在各种类型的贸易市场上。例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果。显然，交换的结果取决于双方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系。这种偏爱与需要程度体现的就是交易者的效用，那么如何衡量交易者的效用呢？

无差别曲线是衡量交换双方效用或是满意的一种重要方法。无差别曲线概念的提出是用图形方法建立实物交换模型的基础，确定这种曲线需要收集大量的数据，还可以研究无差别曲线的解析表达式及其性质。事实上，消费者的效用函数在二维平面上的等值线就是消费者效用的无差别曲线，也称为等效用线。下面给出消费者的无差别曲线的建立过程，并采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案。

考虑消费者甲的对物品X，Y的偏爱程度。如果占有x1数量的X和y1数量的Y与占有x2数量的X和y2数量的Y，对甲具有相同的满意程度，即点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）对甲具有相同的效用，此时称点P1，P2对甲是无差别的，在二维平面建立坐标系，把所有对甲无差别的点连成一条曲线，则称之为甲的无差别曲线，记为f（x，y）=c1。随着c1取值的不同，把所有无差别曲线放到一起可以得到甲的无差别曲线族，并且随着c1的增大，甲的效用不断增大。同时可以证明无差别曲线是单调减少，下凸和彼此互不相交的。同样对消费者乙来说，对物品X，Y也有一族无差别曲线，记为g（x，y）=c2，同甲的无差别曲线f（x，y）=c1具有相似的性质。

即使不知道消费者甲和乙的无差别曲线的解析表达式，仍然可以用曲线对其进行表示，并且用图示法确定交换方案。将双方的无差别曲线族画在一起，见图2.8，其中黑色细线为甲的无差别曲线族f（x，y）=c1，原点在O点，黑色粗线为乙的无差别曲线族g（x，y）=c2，原点在O'点，坐标轴均取相反的方向。随着甲的满意的的增加，c1的数值不断增加，其无差别曲线f（x，y）=c1不断向右上方移动；而随着乙的满意度的增加，c2的数值不断增加，则其无差别曲线g（x，y）=c2不断向左下方移动，两个无差别曲线族的切点处可以获得满意的交换方案。将所有的切点连成一条曲线AB，称之为双方的交换路径。

为了最终给出最佳的交换方案，还需要先确定双方协商的交换准则，下面的讨论将基于等价交换的原则进行最优方案的确定。等价交换准则是指用同一种货币衡量两种物品的价值并进行等价交换的方法。假设交换前甲占有数量为x0的物品X，乙占有数量为y0的物品Y，并且具有相同的价值；交换后甲所占有的物品X，Y的数量分别记为x，y；单位数量的物品X，Y的价格设为p1，p2。由等价交换准则，x，y满足方程

p1（x0-x）=p2y，0≤x≤x0，0≤y≤y0

容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换准则。在等价交换准则下双方均满意的交换方案必是此直线上的点（图2.9），并且在该点处使得双方的效用达到最大，即为直线与交换路径AB的交点P。

通过无差别曲线的图示法解决实物交换问题的最优方案，无差别曲线的构造是个关键，为此需要收集大量的数据，最好能够给出无差别曲线的解析表达式，以便于问题的进一步分析。

（2）消费者的选择

在讨论实物交换模型时，引用无差别曲线描述了消费者对两种物品的满意和偏爱程度，用图形的方法确定两个人进行实物交换时应遵循的途径。接下来要利用无差别曲线族的概念讨论一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时应作怎样选择的问题，即他应该分别用多少钱去购买这两种商品？

记甲乙两种商品的数量分别是q1，q2，当消费者占有它们时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，用q1，q2的函数U（q1，q2）来表示，经济学中称为效用函数。实际上，U（q1，q2）=c（c为常数）的图形就是无差别曲线族。如图2.9所示为一族单调降、下凸、互不相交的曲线，这里假定消费者的效用函数U（q1，q2）对应的无差别曲线族已经完全确定了。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数U（q1，q2）的值相等。而随着曲线向右上方移动，U（q1，q2）的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。

设甲乙两种商品的单价分别是p1（元）和p2（元），消费者有s元钱。当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择，即分别用多少钱买甲和乙，能够使效用函数U（q1，q2）达到最大，即得到最大的满意度。经济学上称这种最优状态为消费者平衡。假设消费者对甲乙两种商品的购买量分别为q1和q2，则问题就归结为在条件

p1q1+p2q2=s　　（2.19）

下求q1，q2，使效用函数U（q1，q2）达到最大。

这是二元函数的条件极值问题，应用拉格朗日乘子法有

L（q1，q2，λ）=U（q1，q2）+λ（s-p1q1-p2q2）

令，，可以得到最优解应满足

　　 （2.20） 　　

这个结果与图2.10的结果是一致的。即直线与效用曲线的切点即为消费均衡点Q。当效用函数U（q1，q2）给定后，由式（2.19）及式（2.20）即可确定最优数量，。

经济学中把效用函数的偏导数，称为边际效用，即商品购买量增加一个单位时效用函数的增量。式（2.20）表明，达到消费者均衡状态（效用最大）时，两种商品的边际效用之比恰等于它们的价格之比，这是一个重要的经济学结论。

综合以上讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数U（q1，q2）的确定。下面列举几个常用的效用函数，确定其消费者均衡状态，并且分析其最优价值比例的实际含义。具体应用时，可以根据下面的分析决定选用哪一种形式的效用函数，并可以借助已有的经验数据确定其参数的取值。

①若效用函数为

　　 （2.21） 　　

根据式（2.20）可以求得最优价值比例为

　　 （2.22） 　　

此时均衡状态下购买两种商品所用钱的比例，与商品价格比的平方根成正比。并且与效用函数U（q1，q2）中的参数α、β有关：α越大购买商品甲的钱越少，β越大购买商品甲的钱越多。此时的参数β和α分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度，调整β和α可以改变消费者对两种商品的爱好倾向，或者说可以改变无差别曲线的具体形状。

②若效用函数为

　　 （2.23） 　　

由式（2.20）可以求得最优价值比例为

　　 （2.24） 　　

由结果可知，在均衡状态下购买两种商品所用钱的比例与价格无关，而与参数λ和μ有关，此时参数λ和μ则分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度。

③若效用函数为

　　 （2.25） 　　

由式（2.20）可以求得最优价值比例为

　　 （2.26） 　　

由结果可知，在均衡状态下购买两种商品所用钱的比例与价格比成反比，此时参数a和b则分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度。

2.2.3　库存模型

库存问题也是实际生活中经常遇到的问题，比如工厂要定期地订购各种原料，存放在仓库中供生产之用；商店里要成批地购进各种商品，放在货柜中以备销售，原料、商品如果存储太多，则储存费用高；存得太少则无法满足需求或因为缺货而造成损失。在需求量稳定（单位时间内为常数）且允许缺货的前提下，试建立数学模型，制订出存储策略，即多长时间订一次货，每次订货量为多少，才能够使总费用达到最小。

（1）模型假设与符号约定

订货时需付一次性订货费，进货时要付商品原料费，货物储存要储存费。如果允许缺货，缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，称为缺货费。

①为方便起见，时间以天为单位，货物以吨（t）为单位，每隔T（订货周期）天订一次货，每次订货量为Q吨。

②每次订货费为c1元（一次性的），每吨货物的价格为k元，每天每吨货物的储存费为c2元，每天的货物需要量为r吨。

③每隔T天订货Q吨，且订货可以瞬时完成，不允许缺货时，储存量降到零时订货立即到达。

④允许缺货时，货物在t=T1时售完，有一段时间缺货，每天每吨货物缺货费为c3元。

（2）模型的分析与建立

在允许缺货的情况下，Q=rT1，若货物正好在t=T1=T时售完，此时等同于不允许缺货的情形，所以只需考虑允许缺货的情况即可。

设货物在任意时刻t的储存量为q（t）（单位时间），其变化规律见图2.11。则有

q（t）=Q-rt，其中当t=T1时，q（T1）=0，期初订货量Q=rT1。

一个周期内的总费用构成为：总费用=订货费+储存费+缺货费+购货费。其中：

①订货费为c1；

②储存费为

式中，SA为三角形A的面积。

③缺货费为，其中，SB为三角形B的面积；

④购货费为kQ，即总费用为

由于T是可变的，因此我们的目标函数应该是每天的平均费用最小。目标函数是T、Q的二元函数，记作C（T，Q），即

　　 （2.27） 　　

最终目标就是要确定T、Q（0<T<+∞，0<Q<+∞），使二元函数C（T，Q）取最小值。

（3）模型求解

根据微分学中的二元函数极值理论，求两个一阶偏导数

其中。令两个一阶偏导数为0，即。得到驻点

　　 （2.28） 　　

故当允许缺货时，每T*天订一次货，每次订货Q*吨，总费用将最少。

（4）模型的进一步讨论

①当不允许缺货时，T1=T而Q=rT，此时

令，解得，从而。

结果表明：

a.最佳订货周期和订货量与货物本身的价格无关。

b.订货费c1越高，需求量r越大，订货量Q就越大；储存费c2越高，订货量Q就越小。

②若不考虑购货费，则此时模型中可视k=0。得到最佳订货周期，最佳订货量，其中

记，于是，。

该结果表明：

a.当考虑购货费时，、都比T*、Q*增大了；

b.，；

c.当c3→+∞时，μ→1，此时，；

d.这个结果是合理的，因为c3→+∞，即缺货造成的损失无限变大，相当于不允许缺货。

③考虑生产销售存储问题。设生产速率为常数k，销售速率为常数r，k>r。则生产量p（t）=kt+b1，销售量q（t）=-rt+b2。

④考虑一般的生产销售存储问题。允许与不允许缺货，函数p（t）、q（t）的形式将更一般化。此时要应用函数逼近论理论进行求解。

2.2.4　森林救火模型

森林失火会造成巨大的损失，消防站接到火警后，会立即派遣消防队员前去救火。一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那么消防站应该派出多少消防员前去救火才合适呢？试建立模型进行分析。

（1）问题分析

森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数并且使总费用最小。

救火的总费用由损失费和救援费两部分组成。损失费由森林被烧毁面积的大小决定，而烧毁面积又与失火、灭火的时间（即火灾持续时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快。救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关。救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。

（2）符号约定与模型假设

设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为t=t1，灭火时刻为t=t2，t时刻森林烧毁面积为B（t），则造成损失的被烧毁森林的面积为B（t2），而是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度。从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t的单调非减的函数，即，0≤t≤t2。从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即，0≤t≤t1。开始救火以后，即t1≤t≤t2时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即，t1≤t≤t2，并且当t=t2时，。同时由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径r与时间t成正比，又因为烧毁面积B与r2成正比，故B与t2成正比，从而可以认为与t成正比。

基于以上分析，对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度作出以下假设：

①森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的；

②损失费与森林烧毁面积B（t2）成正比，比例系数为c1，即烧毁单位面积的损失费为c1；

③从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度与时间t成正比，比例系数为β，称之为火势蔓延速度，即，0≤t≤t1；

④派出消防队员x名，开始救火以后（t≥t1），火势蔓延速度降为β-λx（线性函数），其中λ可视为每个队员的平均灭火速度，且有β<λx，因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延的速度，否则火势将难以控制；

⑤每个消防队员单位时间费用为c2（包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为t2-t1，于是每个队员的救火费用为（t2-t1）c2；每个队员的一次性支出为c3（包括运送队员、器材等一次性支出）。

（3）模型建立

总费用由森林损失费和救援费组成。由假设②，森林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失费c1的乘积c1B（t2）；由假设⑤，救援费为c2x（t2-t1）+c3x，因此，总费用为

C（x）=c1B（t2）+c2x（t2-t1）+c3x

由假设③与假设④，火势蔓延速度在0≤t≤t1内线性地增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势用b表示，而后，在t1≤t≤t2内，火势蔓延的速度线性地减少（图2.12），即

因而有　　b=βt1，

烧毁面积为，恰为图2.12中三角形的面积。

由b的定义又知道b=βt1=（λx-β）（t2-t1），于是可得

所以

　　 （2.29） 　　

其中只有派出的消防队员的人数是未知的。

综合可得，森林救火问题可以归结为如下的最优化问题：

　　 （2.30） 　　

（4）模型求解

利用一元函数微分学中极值问题的求解方法，令，容易解得

　　 （2.31） 　　

（5）模型进一步分析与改进

①应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，其中是为了把火扑灭所必需的最低限度，因为β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理的。

②派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础之上的人数，与问题的各个参数有关。当队员灭火速度λ和救援费用系数c3增大时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及损失费用系数c1增加时，消防队员人数增加；当救援费用系数β增大时，队员人数也增大。

③进一步改进的方向。模型设定过程当中，还有许多需要改进的地方。首先可以考虑在模型中取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况；其次灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势、消防队员的体力等很多因素有关；再次对不同种类的森林发生火灾，派出的队员数应不同，虽然β（火势蔓延速度）能从某种程度上反映森林类型不同，但对β相同的两种森林，派出的队员也未必相同；最后决定派出队员人数时，人们必然在森林损失费和救援费用之间影响程度作权衡，可通过对两部分费用选取不同的权重来体现这一点，进而改变总的费用目标函数。