4.1 平面镜成像

平面反射镜又称平面镜，是光学系统中唯一能成完善像的光学元件，在日常生活中并不少见，如穿衣镜、化妆镜等。

4.1.1 单平面镜

如图4.1所示，物体上任一点A发出的同心光束被平面镜反射，光线AP沿PA方向原光路返回，光线AQ以入射角I入射，经反射后沿QR方向出射，延长AP和RQ交于A′。由反射定律及几何关系容易证明△PAQ≌△PA′Q，从而可得AP＝A′P, AQ＝A′Q。同样可证明由A点发出的另一条光线AO经反射后，其反射光线的延长线必交于A′点。这表明，由A点发出的同心光束经平面镜反射后，变换为以A′为中心的同心光束。因此，A′为物点A的完善像点。同样可以证明B′点为B点的完善像点。由于物体上每点都成完善像，所以整个物体也成完善像。

1．平面镜成像特点

1）像与物相对平面镜对称，物像虚物相反

由球面镜的物像位置公式，令r＝∞可得l′＝－l，所以，物与像相对于平面镜对称。

由球面镜的放大率公式可知，实物成虚像，虚物成实像。

2）平面镜成镜像

由于平面镜成像的对称性，使一个右手坐标系的物体，变换成左手坐标系的像。就像照镜子一样，你的右手只能与镜中的“你”的左手重合，这种像称为镜像。如图4.2所示，一个右手坐标系O-xyz，经平面镜M后，其像为一个左手坐标系O′-x′y′z′。当正对着物体即沿zO方向观察物时，y轴在左边；而当正对着像即沿z′O′方向观察像时，y′在右边。

3）平面镜奇数次反射成镜像，偶数次反射成与物一致的像

由图4.2可知，一次反射像O′-x′y′z′若再经过一次反射成像，将恢复成与物相同的右手坐标系。

4）当物体旋转时，其像沿反方向旋转相同的角度

正对着zO方向观察时，y顺时针方向转90°至x，而y′则是逆时针方向转90°至x′（沿z′O′方向观察）。同样，沿xO方向观察，z转向y是顺时针方向，而z′转向y′则是逆时针方向（沿x′O′方向观察）。沿yO方向观察的情况相同。

2．平面镜的旋转特点

当入射光线方向不变而转动平面镜时，反射光线的方向将发生改变，如图4.3所示，设平面镜转动α角时，反射光线转动θ角，根据反射定律有

因此，反射光线的方向改变了2α角。

利用平面镜转动的这一性质，可以测量微小角度或位移。如图4.4所示，刻有标尺的分划板位于准直物镜L的物方焦平面上，标尺零位点与物方焦点F重合，发出的光束经物镜L后平行于光轴。若平面镜M与光轴垂直，则平行光经平面镜M反射后原光路返回，重新会聚于F点。若平面镜M转动θ角，则平行光束经平面镜后与光轴成2θ角，经物镜L后成像于B点，设BF＝y，物镜焦距为f′，则

式中，y可由分划板标尺读出，物镜焦距f′已知，可求出平面镜转动的微小角度θ。

若平面镜的转动是由一顶杆移动引起的，设顶杆到支点距离为a，顶杆微小移动量为x，则ta nθ≈θ＝x/a，代入上式，得

式中，K＝2f′/a为光学杠杆的放大倍数。利用此式可测量顶杆的微小位移。

4.1.2 双平面镜成像

如图4.5所示，设两个平面镜的夹角为α，光线AO1入射到双平面镜上，经两个平面镜PQ和PR依次反射，沿O2B方向出射，出射光线与入射光线的延长线相交于M点，夹角为β。

下面看经双平面镜两次反射后的出射光线与入射光线间的关系。

由△O1O2M，有

（－I1+I″1）＝（I2－I″2）+β

根据反射定律，有

β＝2（I″1－I2）

在△O1O2N中，有

I″1＝α+I2，即α＝I″1－I2

所以有

可见，出射光线和入射光线的夹角与入射角的大小无关，只取决于双平面镜的夹角α。由此可以推得，如果双面镜的夹角不变，当入射光线方向一定时，双面镜绕其棱边旋转时，出射光线方向始终不变。利用这一性质，光学系统中用双面镜折转光路时，对其安装调整特别方便。

如图4.6所示，一右手坐标系的物体xyz，经双面镜QPR的两个反射镜PQ、PR依次成像为x′y′z′和x″y″z″。经PQ第一次反射的像x′y′z′为左手坐标系，经PR第二次反射后成的像（称为连续一次像）x″y″z″还原为右手坐标系。

由图中几何关系得出：连续一次像可认为是由物体绕棱边旋转2α角形成的，旋转方向由第一反射镜转向第二反射镜。只要双面镜夹角α不变，双面镜转动时，连续一次像不动。

总之，双平面镜的成像特性可归结为以下两点：

（1）二次反射像的坐标系与原物坐标系相同，成一致像。

（2）连续一次像可认为是由物体绕棱边旋转2α角形成的，其转向与光线在反射面的反射次序所形成的转向一致。