3.3 理想光学系统的物像关系

本节讨论的内容就是已知物体位置、大小、方向，求其像的位置及分析像的大小、正倒、虚实等成像性质，有图解法求像和解析法求像两种方法。

3.3.1 图解法求像

已知一个理想光学系统（简称系统）的主点（主面）和焦点的位置，利用光线通过它们后的性质，对物空间给定的点、线和面，通过追踪典型光线求出像的方法称为图解法求像。可供利用的典型光线及性质主要有：①平行于光轴入射的光线，它经过系统后过像方焦点；②过物方焦点的光线，它经过系统后平行于光轴；③倾斜于光轴入射的平行光束经过系统后会交于像方焦平面上的一点；④自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束；⑤共轭光线在主面上的投射高度相等。

由理想光学系统理论，从一点发出的一束光线经光学系统作用后仍然交于一点。因此要确定像点位置，只需求出由物点发出的两条特定光线在像方空间的共轭光线，它们的交点就是该物点的像点。

1．轴外点的图解法求像

如图3.10所示，有一垂轴物体AB被光学系统成像。可选取由轴外点B发出的两条典型光线：一条是由B发出通过物方焦点F，它经系统后的共轭光线平行于光轴；另一条是由B点发出平行于光轴的光线，它经系统后共轭光线过像方焦点F′。在像空间这两条光线的交点B′即是B的像点。由共轴理想光学系统的性质，有过B′点作光轴的垂线A′B′即为物AB的像。

2．轴上点的图解法求像

图3.11所示为由轴上点A发出任一条光线AM通过理想光学系统后的共轭光线为M′A′，其和光轴的交点A′即为A的像，有两种作法：

（1）一种方法如图3.11所示，认为光线AM是由物方焦平面上B点发出的。为此，可以由该光线与物方焦平面的交点B上引出一条与光轴平行的辅助光线BN，其由理想光学系统射出后通过像方焦点F′，即光线N′F′，由于自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束，所以，光线AM的共轭光线M′A′应与光线N′F′平行。其与光轴的交点A′即轴上点A的像。

（2）另一种方法如图3.12所示，认为由点A发出的任一光线是由无限远轴外点发出的倾斜平行光束中的一条。通过物方焦点作一条辅助光线FN与该光线平行，这两条光线构成倾斜平行光束，它们应该会聚于像方焦平面上一点。这一点的位置可由辅助光线来决定，因辅助光线通过物方焦点，其共轭光线由系统射出后平行于光轴，它与像方焦平面之交点即是该倾斜平行光束通过理想光学系统后的会聚点B′。入射光线AM与物方主平面的交点为M，其共轭点是像方主平面上的M′，且M和M′处于等高的位置。由M′和B′的连线M′B′即得入射光线AM的共轭光线。M′B′和光轴的交点A′是轴上点A的像点。

3.3.2 解析法求像

图解法求像直观但不精确，只能帮助理解理想光学系统的成像特性，而解析法可精确地求解像的位置及大小。解析法的依据就是一对主面、物方焦点F、像方焦点F′及物方焦距f、像方焦距f′。

按照物（像）位置表示中坐标原点选取的不同，解析法求像的公式有两种：第一种是牛顿公式，它是以相应焦点为坐标原点的；第二种是高斯公式，它是以相应主点为坐标原点的。如图3.13所示，有一垂轴物体AB，其高度为－y，它被一已知的理想光学系统成一正像A′B′，其高度为y′。

1．牛顿公式

物和像的位置相对于理想光学系统的焦点来确定，即以物点A到物方焦点的距离AF为物距，以符号x表示；以像点A′到像方焦距F′的距离A′F′作为像距，用x′表示。物距x和像距x′的正负号是以相应焦点为原点来确定，如果由F到A或由F′到A′的方向与光线传播方向一致，则为正，反之为负。此处x＜0, x′＞0。

由△BAF∽△FHM可得, △H′N′F′∽△F′A′B′可得

由两式可得

这个以焦点为原点的物像位置公式，称为牛顿公式。在前二式中为像高与物高之比，即垂轴放大率β。因此，牛顿公式的垂轴放大率公式为

2．高斯公式

物与像的位置相对于理想光学系统的主点来确定。以l表示物点A到物方主点H的距离，以l′表示像点A′到像方主点H′的距离。l和l′的正负以相应的主点为坐标原点来确定，如果由H到A或由H′到A′的方向与光线传播方向一致，则为正值，反之为负值。此处l＜0, l′＞0。由图3.13可得l、l′与x、x′间的关系为

x＝l－f x′＝l′－f′

代入牛顿公式得

这就是以主点为原点的物像公式的一般形式，称为高斯公式。其相应的垂轴放大率公式可以从牛顿公式转化得

当光学系统的物空间和像空间的介质相同时，物方焦距和像方焦距有简单的关系f′＝－f，则式（3-5）和式（3-6）可写为

3.3.3 理想光学系统两焦距之间的关系

图3.14所示是轴上点A经理想光学系统成像于A′的光路，因为一对共轭光线在相应主面上的投射高度相等，所以有ltanU＝h＝l′tanU′，将l＝x+f, l′＝x′+f′代入并结合式（3-4）得

上式在近轴区也是成立的，正切值可用角度的弧度值来代替有

由近轴区拉赫公式nyu＝n′y′u′得物方焦距和像方焦距之间的关系式

此式表明，光学系统两焦距之比等于相应空间介质折射率之比。除了少数理想光学系统物、像方空间介质不同外，绝大多数理想光学系统都在同一介质（一般是空气）中使用，即n′＝n，故两焦距是绝对值相同，符号相反，即f′＝－f。

根据式（3-9），式（3-11）可以得出

这就是理想光学系统的拉赫不变量公式。

3.3.4 举例

例3.1 离水面1m深处有一条鱼，现用f′＝75mm的照相物镜拍摄该鱼，照相物镜的物方焦点离水面1m。试求：（1）照相物镜垂轴放大率为多少？（2）照相底片应离照相物镜像方焦点F′多远？

解 根据题意，鱼先经水面成像，水的折射率为1.33，由单个折射面的物像位置关系式有

解得

l′1＝－751.88mm

鱼经水面成像后距离物镜物方焦点的距离为x＝－751.88+（－1000）＝－1751.88mm

故照相物镜的垂轴放大率为

所以，x′＝－βf′＝－0.0428 × 75 m m＝3.21mm

即照相底片在照相物镜像方焦面外3.21mm处。

例3.2 图3.15所示，凸薄透镜L1和凹薄透镜L2的焦距分别为20cm和40cm, L2在L1右方40cm处，近轴小物体置于L1左方30cm处，求光学系统最后成像的位置和成像性质。

解 第一次凸透镜成像，计算起点为O1, l1＝－30cm, f′1＝20cm，由高斯公式：

所以

解得

l′1＝60c m

垂轴放大率

第二次凹透镜成像，计算起点为O2, l2＝（60－40）cm＝20cm, f′2＝－40cm，由高斯公式：

所以

解得

l′2＝40c m

垂轴放大率

总的垂轴放大率

β＝β1β2＝－2 × 2＝－4×

所以，最终成像于凹透镜右方40cm处，成倒立、放大4倍的实像。